Chương II. §4. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC MẶ��T PHẲNG VÀ CÁC ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Hỏi:Hãy nêu các vị trí tương đối của đường thẳng va �mặt phẳng?
A.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
P
P
d
d
d
Song song
Cắt nhau


Đường thẳng nằm trên mp
P
Suy ra : để xác định vị trí tương đối của 1 đường thảng và 1 mặt phẳng,ta đưa về cách tìm số điểm chung của chúng
(0 điểm chung)
(1điểm chung)
(vô số điểm chung)
A
Xét hệ gồm các pt của đường thẳng và mặt phẳng
Số nghiệm của hệ là số giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Phương pháp xét vị trí tương đối của đường thẳng(d) và mp (P):
Giải hệ pt gồm pt của(d) và (P)
* Hệ pt vô nghiệm:(d) và (P) song song
*Hệ pt có 1 nghiệm: (d) cắt (P).Tọa độ giao điểm chính là nghiệm của hệ
*Hệ pt có vô số nghiệm:(d) nằm trên (P)
P
P
d
d
d
Song song
Cắt nhau
(d) nằm trên (P)
P
(0 điểm chung)
(1 điểm chung)
(Vô số điểm chung)
Hệ pt vô nghiệm�
Hệ pt có 1 nghiệm
Hệ pt có vô số nghiệm
Vd1:Cho đường thẳng (d):
x=1+t
y=3+2t
z=-5-4t
Và mặt phẳng(P):2x+3y+2z-7=0
Hãy xét vị trí tương đối của (d) và (P)
Giải:
Thế x=1+t;y=3+2t;z=-5-4t vào pt(P) ta được:
2(1+t)+3(3+2t)+2 (-5-4t)-7=0
0t-6=0
(Vô nghiệm)
(d) và (P) không có điểm chung
(d) và (P) song song
Vd 2: Cho đường thẳng (d) :

x-2y+2z-11= 0
2x+3y+z+1=0
và mp (P) : 4x-y-z-3=0 .Hãy xét vị trí tương đối của (P) và (d).Tìm tọa độ giao điểm(nếu có).
Giải:
Tọa độ giao điểm(nếu có) của (d) và (P) là nghiệm của
hệ pt :
x-2y+2z-11=0
2x+3y+z+1=0
4x-y-z-3=0
Hệ pt trên có 1 nghiệm
(d) và (P) có 1 điểm chung
(d) và (P) cắt nhau
Tọa độ giao điểm là (1;-2;3)
x=1
y=-2
z=3
B.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
d1
d1
d1
d1
d2
d2
d2
d2
a1
a1
a1
a1
a2
a2
a2
a2
Trùng nhau
Song song
Chéo nhau
Cắt nhau
M
M
M
N
M
N
A
Xét các vectơ chỉ phương của chúng?
B.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
d1
d1
d1
d1
d2
d2
d2
d2
a1
a1
a1
a1
a2
a2
a2
a2
Trùng nhau
Song song
Chéo nhau
Cắt nhau
M
M
M
N
M
N
A
* a1,a2 cùng phương
*M
d1 thì
d2
* a1,a2 cùng phương
*M
M
M
d1 thì
d2
* a1,a2 không cùng phương
* a1,a2 không cùng phương
* a1,a2,MN không đồng phẳng
* a1,a2,MN đồng phẳng
PHƯƠNG PHÁP XÉT VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
CỦA 2 ĐƯỜNG THẲNG
Tính tích hữu hướng a1,a2
1/ a1,a2 = 0 : a1,a2 cùng phương
Lấy M thuộc d1
* nếu M cũng thuộc d2 thì d1và d2 trùng nhau
* nếu M không thuộc d2 thì d1và d2 song song
2/ a1,a2 = 0 : a1 và a2 không cùng phương
Tính a1,a2 .MN (M thuộc d1 và N thuộc d2)
*Nếu a1,a2 .MN = 0 :d1 va �d2 cắt nhau.
*Nếu a1,a2 .MN 0 : d1va �d2 chéo nhau







Ví dụ 1:Cho (d1): x=1 +t
y=2 -t
z=-2+2t
Và (d2): x y-3 z+1
= = .Xét vị trí tương đối của chúng
2 4 -1
Và (d2): x y-3 z+1
= = .Xét vị trí tương đối của chúng
2 4 -1
Giải:Các vectơ chỉ phương của (d1)và (d2)lần lượt là :
a1=(1;-1;2) ; a2=(2;4;-1)
Ta có:[a1,a2]=(-7;5;6)
Chọn M(1;2;-2)thuộc (d1) ;chọn N(0;3;-1) thuộc (d2)
MN=(-1;1;1)
[a1,a2].MN=18 0.
Suy ra 3 vectơ a1,a2,MN không đồng phẳng
Vậy (d1) và (d2) chéo nhau
Ví dụ 1:Cho (d1): x=1 +t
y=2 -t
z=-2+2t
Vd 2: Cho (d1) :
Và (d2):
CM (d1) và (d2) cắt nhau. Tìm giao điểm

Vd 2: Cho (d1) :
Và (d2):
Giải:(d1) có vtcp là: a1=( 3; 3;-3)
(d2) có vtcp là: a2=(-1;1; -2)
Ta có:[a1.a2]=(-3;9;6)
CM (d1) và (d2) cắt nhau. Tìm giao điểm
Lấy M trên (d1), cho x=0;ta có y=1;z=4 hay M(0;1;4)
Lấy N trên(d2): N(2;1; 5)
MN=(2;0;1)
[a1,a2].MN= -6+6=0.Vậy 3 vectơ này đồng phẳng
Suy ra(d1)và (d2) cắt nhau
Tìm giao điểm:xét hệ gồm các pt của (d1) và (d2).Thế x=2-t,
y=1+t,z=5-2t vào (d1):
t=1.Thế vào (d2) ta có: x=1;y=2;z=3
Vậy tọa độ giao điểm là(1;2;3)
2-t+1+t+2(5-2t)-9=0
2(2-t)-(1+t)+5-2t-3=0
Vd 3:Cho đường thẳng( d1):
.CM (d1) và (d2) song song
và (d2):
Vd 3:Cho đường thẳng( d1):
và (d2):
.CM (d1) và(d2) song song
Giải: vectơ chỉ phương của (d1) là: a1=(-1; -1; -3)
vectơ chỉ phương của (d2) là: a2=( 1; 1; 3)
Ta có:[ a1,a2]= (0;0;0) = 0
Suy ra a1va �a2 cùng phương
-1 -1 -3
(có thể xét tỉ lệ = = )
1 1 3
Lấy M(-1;3;2) (d2),thế vào pt (d1) ta thấy không nghiệm
đúng.Vậy M (d1)
(d1) (d2)

Phương pháp xét vị trí tương đối
của 2 đường thẳng d1 va �d2
Phương pháp xét vị trí tương đối của đường
thẳng (d) và mặt phẳng (P):
Tính tích hữu hướng [ a1,a2]
1/ [ a1,a2] = 0 : a1,a2 cùng phương
Lấy M thuộc d1
* nếu M cũng thuộc d2 thì d1và d2 trùng nhau
* nếu M không thuộc d2 thì d1và d2 song song
2/ [a1,a2] = 0 : a1 và a2 cùng không cùng phương
Tính [ a1,a2 ] .MN (M thuộc d1 và N thuộc d2)
*Nếu [a1,a2 ] .MN = 0 :d1 va �d2 cắt nhau.
*Nếu [ a1,a2] . MN = 0 : d1va �d2 chéo nhau
Giải hệ pt gồm pt của(d) và (P)
* Hệ pt vô nghiệm:(d) và (P) song song
*Hệ pt có 1 nghiệm: (d) cắt (P).Tọa độ giao điểm chính là nghiệm của hệ
*Hệ pt có vô số nghiệm:(d) nằm trên (P)
Bài tập củng cố:
Xét vị trí tương đối của:
(d): x=t; y=2-t; z=1+t và (P): x+y+z=0
(d): x+2y-z-4=0
x-3y+2z+4=0 và (P) :x+5y+4z+1=0
(d): x-1 y-2 z+2
= =
2 -1 1 và (P) :3x-y-z-9=0
4) (d): x=t; y=3-2t ; z=-2-t và (D):x=-1-t; y=3+t;z=1+3t
5) (d): x+3y-2=0
2x-y+z-3=0 và (D): x=2-t; y=-3+2t; z=1+t
Bài tập về nhà:
Bài số 24