Chương II. §4. Hàm số mũ. Hàm số Lôgarit

Chương II : Bài 4
Biên soạn :
Phạm Quốc Khánh
Chương trình sách giáo khoa mới của bộ GD – ĐT 2008
click
I - HÀM SỐ MŨ
Ví dụ 1 :
Bài toán “ lãi kép “ :
Một người gửi số tiền 1 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 7% năm . Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm , số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu ( người ta gọi đó là lãi kép) . Hỏi người đó được lĩnh bao nhiêu tiền sau n năm ( n  N*) , nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi ?
Giải :
Giả sử n ≥ 2 . Gọi số vốn ban đầu là P , lãi suất là r . Ta có : P = 1 (triệu đồng) ; r = 0,07
Sau năm thứ nhất
Tiền lãi là T1 = Pr = 1. 0,07 = 0,07 ( triệu đồng)
Vậy số tiền được lĩnh là : P1 = P + T1 = P (1 + r) =1+ 0,07 = 1,07 ( triệu đồng)
Sau năm thứ hai
Tiền lãi là T2 = P1. r = 1,07. 0,07 = 0, 0749 ( triệu đồng)
Vậy số tiền được lĩnh là : P2 = P1 + T2 = P1 (1 + r) = P (1+ r)2
= 1.( 0,07)2 = 1,1449 ( triệu đồng)
Sau n năm
Tương tự số tiền được lĩnh là : Pn = P( 1+ r) n = 1.(1,07) n (triệu đồng )
Số tiền được lĩnh còn gọi là vốn tích lũy
click
Ví dụ 2 :
Trong vật lý sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bằng công thức :
Trong đó m0 là khối lượng riêng của chất phóng xạ ban đầu (tại thời điểm t = 0) ; m(t) là khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm t , T là chu kỳ bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa số nguyên tử của chất phóng xạ bị biến thành chất khác) .
Ví dụ 3 :
Dân số thế giới được ước tính theo công thức S = A e ni , trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính ., S là dân số sau n năm , I là tỉ lệ tăng dân số hàng năm
Áp dụng :
Cho biết năm 2003 , dân số Việt Nam có 80 902 400 người và tỉ lệ tăng dân số là 1 , 47% . Hỏi năm 2010 Việt Nam sẽ có bao nhiêu người , nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi ?
Giải :
Theo ví dụ có số người đến 2010 là P 7 = P (1 + r) 7 = 80 902 400 . (1 + 0,0147)7 )
Vậy P7 = 80 902 400 . (1, 0147)7 người
Những bài toán trên thực tế đưa đến xét các hàm số có dạng y = a x
click
1. Định nghĩa :
Cho số thực dương a khác 1 : Hàm số y = ax được gọi là hàm số mũ cơ số a
Minh họa :
Trong các hàm số sau đây , hàm nào là hàm số mũ ? Cơ số bao nhiêu ?
2. Đạo hàm của hàm số mũ :
Công nhận công thức :
Định lý 1 :
Hàm số y = ex có đạo hàm tại mọi x và
Chứng minh :
Giả sử x là số gia của x , ta có :
Do đó
Áp dụng (1) có
Nên
Chú ý : công thức đạo hàm hàm hợp với y = eU là
click
Định lý 2 :
Hàm số y = ax (0 < a ≠ 1) có đạo hàm tại mọi x
Chứng minh :
Có
Đặt u(x) = x.lna . Theo chú ý trên có
Chú ý : công thức đạo hàm hàm hợp với y = aU là :
Ví dụ 4 :
Hàm số
Có đạo hàm là :
3. Khảo sát hàm số mũ : y = ax ( 0 < a ≠ 1)
1. Tập xác định :
R
1. Tập xác định :
R
2. Sự biến thiên :
y’ = ax .lna > 0  x
Giới hạn đặc biệt
Tiệm cận : Ox là TC ngang
2. Sự biến thiên :
y’ = ax .lna < 0  x
Giới hạn đặc biệt
Tiệm cận : Ox là TC ngang
click
3. Bảng biến thiên :
x
y’
y
-∞
0
1
1
+ ∞
+
+
+
0
+ ∞
1
a
3. Bảng biến thiên :
x
y’
y
-∞
0
1
1
+ ∞
─
─
─
+ ∞
0
1
a
4. Đồ thị :
0
1
1
a
x
y
y = ax ( a > 1)
4. Đồ thị :
0
1
1
a
x
y
y = ax ( 0click
Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số mũ : y = ax ( 0 < a ≠ 1)
Tập xác định :
Đạo hàm
Chiều biến thiên
Tiệm cận
Đồ thị
( ─ ∞ ; + ∞ )
y’ = ax . lna
Ox : là đường tiệm cận ngang
0 < a < 1 : hàm số luôn nghịch biến
Đồ thị luôn đi qua điểm ( 0 ; 1) và ( 1 ; a)
Đồ thị luôn nằm trên trục hoành
( y = ax > 0  x  R)
a > 1 : hàm số luôn đồng biến
click
II - HÀM SỐ LÔGARIT
1. Định nghĩa :
Cho số thực dương a khác 1 : Hàm số y = logax được gọi là hàm logarit cơ số a
Ví dụ 5 :
Các hàm số
Là những hàm số lôgarit lần lượt có cơ số là :
2. Đạo hàm của hàm số lôgarit :
Ta có định lý sau :
Định lý 3 :
Hàm số y = loga x (0 < a ≠ 1) có đạo hàm tại mọi x > 0
Đặc biệt :
Chú ý : công thức đạo hàm hàm hợp với y = loga U(x) là :
Ví dụ 5 :
Các hàm số
Có đạo hàm là :
Bài làm tại lớp : Tìm đạo hàm của hàm số
click
3. Khảo sát hàm số lôgarit : y = loga x ( 0 < a ≠ 1)
1. Tập xác định :
(0 ; + ∞)
1. Tập xác định :
(0 ; + ∞)
2. Sự biến thiên :
Giới hạn đặc biệt
Tiệm cận : Oy là TC đứng
2. Sự biến thiên :
Giới hạn đặc biệt
Tiệm cận : Oy là TC đứng
3. Bảng biến thiên :
x
y’
y
-∞
1
1
a
+ ∞
+
+
+
- ∞
+ ∞
0
1
3. Bảng biến thiên :
x
y’
y
-∞
a
1
1
+ ∞
─
─
─
+ ∞
- ∞
1
0
click
4. Đồ thị :
0
1
1
a
x
y
y = logax ( a > 1)
4. Đồ thị :
0
1
1
a
x
y
y = logax ( 0Bảng tóm tắt các tính chất của hàm lôgarit : y = logax ( 0 < a ≠ 1)
Tập xác định :
Đạo hàm
Chiều biến thiên
Tiệm cận
Đồ thị
( 0 ; + ∞ )
y’ = 1 : x lna
Oy : là đường tiệm cận đứng
0 < a < 1 : hàm số luôn nghịch biến
Đồ thị luôn đi qua điểm ( 0 ; 1) và ( a ; 1)
Đồ thị luôn nằm bên phải trục tung
a > 1 : hàm số luôn đồng biến
click
Nêu nhận xét về mối liên hệ giữa đồ thị các hàm số có hình vẽ sau :
0
x
y
1
1
y = x
- 1
3
- 1
3
0
x
y
1
1
y = x
Nhận xét :
Đồ thị hàm số y = a x và y = looga x (0 < a ≠ 1) đối xứng nhau qua đường thẳng y = x
click
Bảng đạo hàm các hàm số lũy thừa , mũ , lôgarit :
Hàm số sơ cấp
Hàm hợp ( u = u(x))
click
Ví dụ trắc nghiệm về hàm số lôgarit :
Bài 1 :
Cho hàm số f(x) = ln (4x – x2) . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định :
A
B
C
D
Bài 2 :
Trong các hàm số
Hàm số nào có đạo hàm bằng
A
B
C
D
Bài tập về nhà :
Bài số 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; trang 77 ; 78 sách giáo khoa Bộ GD-ĐT : GT 12 - 2008
click
Dùng mũi tên của chuột chỉ vào các ô A ; B ; C ; D để tìm đáp án