Chương II. §4. Hàm số mũ. Hàm số Lôgarit

1
GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 (NÂNG CAO)
Chương II : HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LÔGARIT
�5. Hàm số mũ và
hàm số lôgarit
2
NỘI DUNG BÀI HỌC
TIẾT 1
Kiểm tra bài cũ
Khái niệm hàm số mũ, hàm số lôgarit.
Một số giới hạn liên quan
TIẾT 2
3. Đạo hàm của hàm số mũ, hàm số lôgarit
TIẾT 3
4.Sự biến thiên và đồ thị của hàm số mũ, hàm số lôgarit
Củng cố
Bài tập làm thêm
3
KIỂM TRA BÀI CŨ :

Câu hỏi : Viết công thức tính lãi kép .

A�p dụng : Một người gửi 15 triệu đồng vào Ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn một năm với lãi suất 7,56% một năm . Hỏi số tiền người đó nhận được (cả vốn lẫn lãi) sau 2 năm, sau 5 năm là bao nhiêu triệu đồng .(Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai )
4
TRẢ LỜI :
Công thức : C= A(1 + r)N
A : Số tiền gửi ban đầu
r : lãi suất
N : Số kì hạn
C : Số tiền thu được ( cả vốn lẫn lãi )
A�p dụng :
C= 15(1 + 0,0756)N

N = 2 : C = 17 triệu 35

N = 5 : C = 21 triệu 59
5
Câu 1 : Tính các giá trị cho trong bảng sau
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1
1
2
4
2
-1
0
1
6
1. Khái niệm hàm số mu�, hàm số lôgarit :
a)Định nghĩa : Cho a là số thực dương, khác 1.
+ Hàm số y = ax , xác định trên R
được gọi là hàm số mũ cơ số a .
+ Hàm số y = loga x , xác định trên (0; + ?) được gọi là hàm số lôgarit cơ số a .
b) Chú ý :
+ Hàm số y = ex kí hiệu y = exp(x).
+ Hàm số y =logx = log10x (hoặc y= lgx) ,
+ Hàm số y = lnx = logex .
7
Câu 2 : Các biểu thức sau biểu thức nào là hàm số mũ, hàm số lôgarit. Khi đó cho biết cơ số :
e) y = xx .
i) y = lnx
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1
8
e) y = xx .
TRẢ LỜI
Hàm số mũ cơ số a =
Hàm số mũ cơ số a = 1/4
Hàm số mũ cơ số a = ?
Không phải hàm số mũ
Không phải hàm số mũ
9
i) y = lnx
TRẢ LỜI
Hàm số lôgarit cơ số a = 3
Hàm số lôgarit cơ số a = 1/4
Không phải hàm số lôgarit
Hàm số lôgarit cơ số a = e
Không phải hàm số lôgarit
10
2. Một số giới hạn liên quan đến hàm số mũ, hàm số lôgarit :
a) Tính liên tục
Các hàm số y = ax, y = logax liên tục trên tập xác định của nó :
11
Ví dụ : Tính các giới hạn sau :
12
GIẢI
a) Khi x ? + ? ? 1/x ? 0 . Do đó :
c) Khi x ? 0 ?
Do đó :
13
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2
Do đó :
3) Đặt t = ex = t => ex = t + 1 => x = ln(1 + t )
Khi x ? 0 khi và chỉ t ? 0
A�p dụng công thức (1) . Do tính liên tục của hàm số lôgarit , ta có :
Đặt :
1) Các em đã biết :
14
b) ĐỊNH LÝ 1�:
15
A�p dụng : Tính các giới hạn sau :
16
GIẢI
17
3. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôragit :
a) Đạo hàm của hàm số mũ�:
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 3
a) Phát biểu định nghĩa đạo hàm của hàm số �:
b) A�p dụng tính đạo hàm của hàm số y=f(x)= ex
Cho x s? gia ?x
+ ?y = f(x + ?x ) - f(x) = ex + ?x - ex = ex(e?x - 1).
+ Kết luận�: (ex)` = ex .
18
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 3
c) Chứng minh (ax)` = ax. lna .
Biến đổi số a dương khác 1 thành lũy thừa theo cơ số e
a= elna => ax = e(lna)x = ex.lna .
Do đó theo công thức đạo hàm của hàm số hợp . Ta có :
19
ĐỊNH LÝ 2�:
i) Hàm số y = ax có đạo hàm tại mọi điểm x ? R và .

(ax)` = ax .lna
Đặc biệt�:
(ex)` = ex .
ii) Nếu hàm số y = u(x) có đạo hàm trên tập J thì hàm số
y = au(x) có đạo hàm trên J và
(au(x))` = u`(x).au(x) .lna
Đặc biệt�:

(eu(x))` =u`(x)eu(x) .
20
Ví dụ : Tính đạo hàm các hàm số sau�:
y = (x2 + 2x).ex .
21
y = (x2 + 2x).ex .
y’= (2x + 2)ex + (x2 + 2x).ex
y’ = (x2 + 4x + 2).ex
GIẢI :
22
b) Đạo hàm của hàm số loragit :
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 4
Do đó :
a) A�p dụng tính đạo hàm của hàm số y=f(x)= lnx
Cho x > 0 s? gia ?x
+ ?y = f(x + ?x ) - f(x) = ln(x + ?x) - lnx
23
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 4
A�p dụng công thức đổi cơ số a về cơ số e . Ta có :
b) Chứng minh :
24
ĐỊNH LÝ 3�:
Hàm số y =logax có đạo hàm tại mọi điểm x> 0 và


Đặc biệt�:

ii) Nếu hàm số u(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm trên tập J thì hàm số y = logau(x) có đạo hàm trên J và


Đặc biệt�:

25
Ví dụ : Tính đạo hàm các hàm số sau�:

1) y = (x2 + 1).lnx

2) y = ln(x2 - x + 1)

3) y = log2(2 + sinx).
26
3) y = log2(2 + sinx).
GIẢI
y = (x2 + 1).lnx
2) y = ln(x2 - x + 1)
27
HỆ QUẢ�:

i) với mọi x ? 0

ii) Nếu hàm số u(x) nhận giá trị khác 0 và có đạo hàm trên tập J thì


với mọi x ? J .
Ta có : Với x < 0
Mặt khác với x > 0 . Ta có :
Suy ra :
với mọi x ? 0
28
4. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số mũ, hàm số logarit�:
Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số mũ y = ax .
+ Tập xác định :
+ Sự biến thiên
Đạo hàm :
Nếu a > 1
Nếu 0 < a < 1
Tiệm cận :
Khi a > 1 :

Khi 0 < a < 1

KL:
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 5
D= R
=>y` >0 ?x ?R => Hàm số đồng biến trên R
=> y` < 0 ?x ?R => Hàm số nghịch biến trên R
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là trục hoành
a) Hàm số mũ
29
Đồ thị :
Cho x = 0 ==> y = 1
Cho x = 1 ==> y = a
Đồ thị hàm số luôn nằm trên trục hoành
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 5
+ Bảng biến thiên :
0 < a < 1
a > 1
30
?
?
?
0< a <1
a >1
31
+ Tập xác định :
+ Sự biến thiên
Đạo hàm :
+ Tiệm cận :


+ Bảng biến thiên :
D= R
y`= 3x.ln3 > 0 v?i m?i x
=> du?ng th?ng y = 0 (trục hoành) là tiệm cận ngang
Ví dụ : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số�: y = 3x .
32
Đồ thị :
Cho x = 0 => y = 1
Cho x = 1 => y = 3
?
?
y= 3x
33
b) Hàm số y = logax .
+ Tập xác định :
+ Sự biến thiên Đạo hàm :
Nếu a > 1
Nếu 0 < a < 1
+ Tiệm cận :
Khi a > 1
Khi 0 < a < 1
KL về tiệm cận :
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 6
(0 : +?)
Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số logarit y = logax .
=> y` > 0 => hàm số đồng biến trên (0 ; +?)
=> y` < 0 => hàm số nghịch biến trên (0 ; +?)
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là trục tung
34
+ Bảng biến thiên :
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 6
+Đồ thị :
Cho x = 1 ==> y = 0
Cho x = a ==> y = 1
Nh?n xét : Đồ thị nằm bên phải trục tung Oy.
a > 1
0 < a < 1
35
?
?
?
a > 1
0< a < 1
36
+ Tập xác định :
Ví dụ : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số�: y = log3x .
+ Tiệm cận :
+ Sự biến thiên
Đạo hàm :
(0 : +?)
=> Đường thẳng x = 0 (trục tung ) là tiệm cận đứng
37
+Đồ thị :
Cho x = 1 => y = 0.
Cho x = 3 => y = 1
+ Bảng biến thiên :
38
?
?
y= log3x
39
NHẬN XÉT :
Đồ thị hàm số mũ y = ax và đồ thị hàm số logarit y=logax đối xứng nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất y = x
y=3x
y=log3x
y = x
40
CỦNG CỐ�:
1) Nhắc lại các công thức đạo hàm đã học�
41
2)Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số mũ y = ax
42
3) Nhắc lại bảng tóm tắt các tính chất của
hàm số lôgarit y = logax
43
Câu 1 : Tìm mệnh đề sai :
B
A
C
D
44
Câu 2 : Hàm số nào đồng biến trên tập xác định của nó ?
y = 2-x
B
A
C
D
S
S
S
45
V?y : Mệnh đề C là mệnh đề sai
Câu 2
46
A) y = 2-x =(1/2)x => Hàm số nghịch biến trên R
=> Hàm số nghịch biến (0; + ? )
=> Hàm số nghịch biến (0; + ? )
=> Hàm số đồng biến R
47
HƯỚNG DẪN TỰ HỌC Ở NHÀ :
+ Làm bài tập : từ bài 47 đến bài 56 SGK trang 112, 113 .
+ Bài tập làm thêm :
Bài 2 : Tính đạo hàm các hàm số sau :
Bài 3 : Cho hàm số y = esinx . CMR : y`.cosx - y.sinx - y" = 0 .
Bài 4 : Cho hàm số y = x[cos(lnx)+ sin(lnx)] với x > 0 .
CMR : x2.y" - x.y` + 2y = 0 .
Bài 1 : Tìm tập xác định của hàm số :
a) y = ln( - x2 + 5x - 6)
48
EM CÓ BIẾT ?
John Napier
(1550 - 1617)
Ô�ng đã bỏ ra 20 năm ròng rã mới phát minh được hệ thống logarittme. . .
Việc phát minh ra logarithme đã giúp cho Toán học Tính toán tiến một bước dài, nhất là trong các phép tính Thiên văn .
49
CHÚC CÁC EM HỌC TỐT