Chương II. §3. Lôgarit

? Tìm x để: 2x = 7 (*)
Nhận xét:
Từ bài toán (*) dẫn đến bài toán tổng quát là: Cho số dương a,Tìm x trong phương trình
ax = b (1)
Người ta chứng minh được rằng với hai số dương a, b, a khác 1, luôn tồn tại duy nhất số x sao cho ax = b.
Từ nhận xét ở trên dẫn đến khái niệm lấy lôgarit của một số như sau:

I. Khái niệm lôgarit
Ta tìm x trong (*) ntn?




a) 2x = 8


b) 2x = ¼


c) 3x = 81


d) 5x = 1/125
I. Khái niệm lôgarit
 x = 3
 x = -2
 x = 4
 x = -3
Định nghĩa: Cho hai số dương a, b với a khác 1. Số x thoả mãn đẳng thức ax=b được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là logab
x=logab ax=b
Log28=
Log21/4=
Log381=
Log5 (1/125)=
?
?
?
?
3
-2
4
-3
Vì 23=8
Vì 2-2=1/4
Vì 34=81
Vì 5-3=1/125
I. Khái niệm lôgarit
Ví dụ 1:
Tính log1/24, log31/27.
Có các số x, y nào để 3x = 0, 2y = -3 hay không?
Chú ý: Không có logarit của số âm và số 0.
Ví dụ 2:Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa
log2x
log1/2(x2-1)
I. Khái niệm lôgarit
2. Tính chất: Với hai số a, b, a khác 1. Ta có các tính chất sau:
HĐ3: Chứng minh


loga1 = 0 ,


logaa = 1,


alogab = b,


logaax =x.

loga1 = 0  a0 = 1.
logaa = 1  a1 = a.
Từ ĐN ta có
x = logab  ax = b  alogab = b.
logaax = x  ax = ax .
I. Khái niệm lôgarit
Ví dụ 2:
32log35 = (3log35)2 = 52 = 25.
log1/28 = log1/2(1/2)-3 = -3.
HĐ4: Tính
4log2(1/7) = ? b) (1/25)log5(1/3) = ?
Giải:

4log2(1/7) = (22)log2(1/7) =

= [2log2(1/7))2]2 = (1/7)2 = 1/49.

(1/25)log5(1/3) = (5-2)log5(1/3) =

= [5log5(1/3) ]-2 = (1/3)-2 = 9.
II. Quy tắc tính lôgarit
HĐ5: Cho b1 = 23 , b2 = 25.
Tính log2b1 + log2b2; log2(b1b2) và so sánh kết quả.
Giải:
log2b1 + log2b2 = log223 + log225 = 3 + 5 = 8.
log2(b1.b2) = log2(2325) = log228 = 8.
Vậy: log223 + log225 = log2(2325).
? Vấn đề đặt ra là nếu ta thay b1, b2 bởi các số dương tuỳ ý và thay số 2 ở trên bởi một số dương a khác 1 thì đẳng thức trên có còn đứng hay không?
Chúng ta đi nghiên cứu vấn đề này !
II. Quy tắc tính lôgarit
1.Lôgarit của một tích
Định lí 1:


Lôgarit của một tích bằng tổng các lôgarit
Chứng minh:
Đặt x1 = logab1, x2 = logab2, ta có
x1 + x2 = logab1+ logab2 . (1)
Mặt khác, vì b1 = ax1, b2 = ax2, suy ra b1b2 = ax1ax2 = ax1+ x2 .
Do đó x1 + x2 = loga(b1b2) . (2)
Từ (1) và (2) suy ra loga(b1b2) = logab1 + logab2 . ■
Cho ba số dương a, b1, b2 , a khác 1, ta có

loga(b1b2) = logab1+ logab2.
II. Quy tắc tính lôgarit
Ví dụ 3: Tính log69 + log64 .
Giải: log69 + log64 = log6(9.4) = log636 = log662 = 2 .

Chú ý: Định lí 1 có thể mở rộng cho n số dương :
loga(b1b2…bn) = logab1 + logab2 + …+ logabn
(a, b1, b2, bn > 0, a khác 1).

HĐ6: Tính log1/22 +2log1/2(1/3) + log1/2(3/8) .
Giải:
log1/22 +2log1/2(1/3) + log1/2(3/8) =
= log1/22 + log1/2(1/3) + log1/2(1/3) + log1/2(3/8) =
= log1/2(2.1/3.1/3.3/8) = log1/2(1/12) .
III. Hướng dẫn học bài ở nhà
Nắm vững định nghĩa, quy tắc tính lôgarit của một tích để vận dụng vào việc giải bài tập.
Làm các bài tập 1, 2 trong SGK trang 68.
Xem trước phần II2, II3, III, IV, V trong §3.