Chương II. §3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Tiết 24: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
GV: Kiều Cao Long
Bài toán.
Cho AB và CD là hai dây (khác đường kính) của đường tròn (O ; R). Gọi OH, OK theo thứ tự là các khoảng cách từ O đến AB, CD. Chứng minh rằng:
OH2 + HB2 = OK2 + KD2
Bài giải:
Chứng minh
áp dụng định lý Py-ta-go vào 2 tam giác vuông OHB và OKD ta có:
OH2 + HB2 = OB2 = R2 (1)
OK2 + KD2 = OD2 = R2 (2)
Từ (1) và (2) => OH2 + HB2 = OK2 + KD2
Bài giải:
Chứng minh
áp dụng định lý Py-ta-go vào 2 tam giác vuông OHB và OKD ta có:
OH2 + HB2 = OB2 = R2 (1)
OK2 + KD2 = OD2 = R2 (2)
Từ (1) và (2) => OH2 + HB2 = OK2 + KD2
? Chú ý: Kết luận của bài toán trên vẫn đúng nếu một dây là đường kính hoặc hai dây là đường kính. (OH2 + HB2 = OK2 + KD2)


2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây.
Hãy sử dụng kết quả của bài toán ở mục 1 để chứng minh rằng:
Nếu AB = CD thì OH = OK.
Nếu OH = OK thì AB = CD.
?1
Vì OH ? AB ?
Vì OK ? CD ?
(đg kính ? dây)
(đg kính ? dây)
a) AB = CD thì HB = KD

HB2 = KD2

Mà: OH2 + HB2 = OK2 + KD2

(Kết luận của bài toán trên)

OH2 = OK2

Hay OH = OK
Vì OH ? AB ?
Vì OK ? CD ?
(đg kính ? dây)
(đg kính ? dây)
b) OH = OK thì OH2 = OK2

Mà OH2 + HB2 = OK2 + KD2
(Kết luận bài toán trên)

? HB2 = KD2

? HB = KD

Hay AB = CD
? Định lý 1:
Trong một đường tròn:
Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm
Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
Hãy sử dụng kết quả của bài toán ở mục 1 (OH2 + HB2 = OK2 + KD2) để so sánh các độ dài:
a) OH và OK, nếu biết AB > CD.
b) AB và CD, nếu biết OH < OK.
?2
Chứng minh ?2:
a) So sánh OH và OK, nếu AB > CD.
a) Nếu AB > CD
? HB > KD
? HB2 > KD2.
Mặt khác:
OH2 + HB2 = OK2 + KD2
(Kết luận của bài toán)
? OH2 < OK2
? OH < OK.
Kq bài toán: OH2 + HB2 = OK2 + KD2
Chứng minh ?2:
b) So sánh AB và CD, nếu OH < OK.
b) Nếu biết OH < OK
? OH2 < OK2
Mặt khác:
OH2 + HB2 = OK2 + KD2
(Kết lnận của bài toán)
? HB2 > KD2
? HB > KD
Hay AB > CD
Kq bài toán: OH2 + HB2 = OK2 + KD2
? Định lý 2:
Trong 2 dây của một đường tròn:
a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn
b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
Cho ? ABC, O là giao điểm của các đường trung trực của tam giác; D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, AC. Cho biết OD > OE; OE = OF.
Hãy so sánh các độ dài:
a) BC và AC.
b) AB và AC.
?3
Chứng minh
?3
- Vì O là giao điểm của 3 đường trung trực của ?
a) Theo đầu bài: OE = OF
b) Theo đầu bài: OD > OE , mà OE = OF
? O là tâm đường tròn ngoại tiếp ?ABC.
? BC = AC (theo đlý1b)
? AB < AC (theo đlý 2b)
? OD > OF
Dặn dò về nhà:
Xem lại bài học,
Nắm rõ KL bài toán và 2 định lý.
Làm BT 12 + 13 (SGK-106).
Chuẩn bị tiết sau Luyện tập.
(Nhớ mang Thước kẻ, Compa. Giấy nháp)

a) c/m: EH = EK
Bằng cách:
c/m: ?OEH = ?OEK

b) Dựa vào KL phần a) và Đlý về đg kính ? dây.
BT 13. (SGK-106)