Chương II. §3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Bài toán :
Cho AB và CD là hai dây ( khác đường kính) của đường tròn ( O; R). Gọi OH, OK theo thứ tự là các khoảng cách từ O đến AB, CD. Chứng minh rằng
OH2 + HB2 = OK2 + KD2

Từ (1) và (2) suy ra
OH2 + HB2 = OK2 + KD2 (= R2)
Chứng minh
áp dụng định lí Py-ta-go vào các tam giác vuông OHB và OKD ta có:

A
B
H
Chú ý: Kết luận của bài toán trên vẫn đúng nếu một dây là đường kính hoặc hai dây là đường kính.
?1
Hãy sử dụng kết quả của bài toán ở mục 1 để chứng minh rằng:
a) Nếu AB = CD thì OH = OK.
b) Nếu OH = OK thì AB = CD.

OH = OK
OH2 = OK2
HB2 = KD2
HB = KD
AB/2 = CD/2
AB = CD
Hướng dẫn
?1
Hãy sử dụng kết quả của bài toán ở mục 1 để chứng minh rằng:
a) Nếu AB = CD thì OH = OK.
b) Nếu OH = OK thì AB = CD.

Chứng minh
a) OH ? AB, OK ? CD theo định lí đường kính vuông góc với dây
=> HB = KD => HB2=KD2
mà OH2 + HB2 = OK2 + KD2 (c/m trên)
? OH2 = OK2 ? OH = OK.
Nếu OH = OK => OH2 =OK2
Mà OH2 + HB2 = OK2 + KD2
=> HB2 = KD2 => HB = KD
Hay
Định lý 1
Trong một đường tròn:
a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
a
b
k
c
h
d
k
d
c
O
D
B
O
B
D
A
C
K
O
b
H
K
H
C
A
a
12
8
a) Biết OH = OK
b) Biết AB = CD
Tìm a, b trong các hình vẽ sau.

Bài tập
?2
Hãy sử dụng kết quả của bài toán ở mục 1 để so sánh các độ dài:
a) OH và OK nếu biết AB > CD.
b) AB và CD nếu biết OH < OK.
OH < OK
OH2 < OK2
HB2 > KD2
HB > KD
AB/2 > CD/2
AB > CD
Hướng dẫn
Định lý 2:
Trong hai dây của một đường tròn
a) Dây nào lớn hơn dây đó gần tâm hơn.
b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
5
4
o
f
e
q
p
8
6
o
n
m
Cho hìmh vẽ. Điền dấu ( >;< ; =) vào chỗ ...
Bài tập:

a) EF .. PQ
b) ON .. OM
>
<
A
B
A
B
C

?3
Cho tam giác ABC, O là giao điểm của các đường trung trực của tam giác ; D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, AC.
Cho biết OD > OE, OE = OF.( hình 69 SGK).
Hãy so sánh các độ dài:
a) BC và AC
b) AB và AC

Bài tập 13(SGK_106)
Cho (O); AB = CD
AB CD = {E}, E nằm ngoài (O)
H AB: HA = HB
K CD: KC = KD
GT

KL

a) HE = KE
b) AE = CE
Hướng dẫn về nhà:
- Học thuộc và chứng minh định lý 1;2
-Làm các bài tập 12; 13; 14;15/SGK-106
BT: 25; 26; 33 SBT/132.
Gợi ý bài tập 33(SBT,tr132).
+ Cm: MH2 + OH2 = MK2 + OK2
+ So sánh OH với OK rồi so sánh MH và MK