Chương II. §3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

B�I T?P: Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng nhau. Gọi H, K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ tâm O đến AB, CD. Chứng minh: HB = KD
Hãy phát biểu các định lí về quan hệ giữa đường kính và dây cung.
I.Bài toán: Cho AB và CD là hai dây (khác đường kính) của đường tròn (O ; R). Gọi OH , OK theo thứ tự là các khoảng cách từ O đến AB, CD. Chứng minh rằng OH2 + HB2 = OK2 + KD2
OK2 + KD2 = OD2 = R2 (2)
- áp dụng định lý Py-ta- go vào các tam giác vuông OHB và OKD ta có :
HO2 + HB2 = OB2 = R2 (1)
Chứng minh :
Từ (1) và ( 2) suy ra: OH2 + HB2 = OK2 + KD2
? H
I.Bài toán: Cho AB và CD là hai dây (khác đường kính) của đường tròn (O ; R). Gọi OH , OK theo thứ tự là các khoảng cách từ O đến AB, CD. Chứng minh rằng OH2 + HB2 = OK2 + KD2
Trường hợp: có một dây là đường kính.
OH = 0 và HB2 =R2 = OK2 + KD2
Chẳng hạn AB
, thì H ? O, ta có:
O ? K ? H
Chú ý: Kết luận của bài toán trên vẫn đúng nếu một dây là đường kính hoặc hai dây là đường kính.
I.Bài toán: Cho AB và CD là hai dây (khác đường kính) của đường tròn (O ; R). Gọi OH , OK theo thứ tự là các khoảng cách từ O đến AB, CD. Chứng minh rằng OH2 + HB2 = OK2 + KD2
Trường hợp: Cả hai dây AB và CD đều là đường kính
OH = OK=0 và HB2 = R2 = KD2
thì H và K đều trùng với O, ta có:
II.Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây.
Nhận xét: Trong một đường tròn hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
Chứng minh: - Theo kết quả trên, ta có : OH2 + HB2 = OK2 + KD2 (1)
CD?OK
Do AB?OH,
Nên theo định lý về đường kính vuông góc với một dây, ta có:
Từ (1),(2) suy ra: OH2 = OK2, nên OH = OK
II.Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây.
a./ Chứng minh: Nếu AB = CD thì OH = OK.
?1
b./ Chứng minh: Nếu oh = ok thì ab = cd.
Nếu oh =ok thì oh2 = ok2 (1)
mà oh2+ hb2 = ok2 + kd2 (2)
Từ (1) và (2) => Hb2 = kd2 nên hb =kd Do đó: ab = cd
Nhận xét: Trong một đường tròn hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
II.Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
Định lý 1: Trong một đường tròn:
a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
Bài tập: Cho đường tròn tâm (O) có các dây AB = CD, các tia AB và CD cắt nhau tại E,
biết H và K lần lượt là chân các
đường vuông góc kẻ từ O đến
AB và AC.
Chứng minh : EH = EK.
II.Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây.
Ta có: AB > CD ? HB > KD ? HB2 > KD2
Suy ra: OH 2 < OK2, do đó: OH < OK
Mà OH2 +HB2 = OK2 + KD2
Nhận xét: Dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn.
a./ Nếu biết AB > CD hãy so sánh độ dài của OH và OK.
?2
b./ Nếu biết OH < OK hãy so sánh AB và CD.
OH< OK thì AB > CD
Nhận xét: Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
Trong hai dây của một đường tròn:
a) Dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn.
b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
II.Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây.
Định lý 1:
Định lý 2:
Trong một đường tròn:
a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
Điền từ thích hợp vào chỗ trống:
Trong một đường tròn:
cách đều tâm
Hai dây cách đều tâm
thì gần tâm hơn
Dây nào gần tâm hơn
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi D , E , F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB , BC , AC .Cho biết OD > OE , OE = OF . Hãy so sánh các độ dài:
a) BC và AC b) AB và AC
?3
Ta có D là trung điểm của AB ? OD?AB (theo định lý về liên hệ giữa đường kính và dây).
Tương tự ta có: OE?BC và OF?AC
Mà OE=OF (gt) ?BC= AC(định lý 1)
b) Có OD > OE và OE = O F nên OD > OF
? AB < AC (Theo định lí 2)
?Hướng dẫn bài tập 16.
Để so sánh độ dài BC và E F ta vẽ.
Thêm OH ? EF rồi so sánh các cạnh trong ?OHA.
1./ Học kĩ lí thuyết: học thuộc và chứng minh lại các định lí, làm lại các bài tập đã chữa.
2./ Làm bài tập 12, 14, 15, 16 trang 106/SGK.
3./ Học sinh khá giỏi làm thêm câu sau :
Qua điểm A nằm trong đường tròn (O).
Dựng dây BC có độ dài nhỏ nhất.