Chương II. §3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Bài cũ:
Hãy phát biểu mối quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây của đường tròn ?
IC = ID
IC = ID, O ≠ I
Trả lời:


R
O


C
A


B
D

H

K
Bài toán:
Cho AB và CD là hai dây (khác đường kính) của đường tròn (O ; R). Gọi OH, OK theo thứ tự là các khoảng cách từ O đến AB, CD. Chứng minh rằng OH2 + HB2 = OK2 + KD2
Giải
Áp dụng định lý Py-ta-go vào các tam giác vuông OHB và OKD, ta có:
OH2 + HB2 = OB2 = R2 (1)
OK2 + KD2 = OD2 = R2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: OH2 + HB2 = OK2 + KD2

Bài 3. LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY
1. Bài toán.
(SGK)
2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây.
Định lý 1:
Trong một đường tròn:
a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
Định lý 2:
Trong hai dây của một đường tròn:
a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
3. Áp dung.
Cho tam giác ABC, gọi O là giao điểm của các đường trung trực của tam giác; D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, AC. Cho biết OD > OE, OE = OF (hình vẽ)
a) BC và AC
b) AB và AC
Hãy so sánh các độ dài:

Giải:
a)
OE = OF nên BC = AC
(định lý 1b)
b)
OD > OE, OE = OF nên OD > OF.
Suy ra AB < AC
(định lý 2b)
Bài tập:
Cho đường tròn tâm O bán kính 5cm, dây AB bằng 8cm
a) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB.
b) Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI = 1cm. Kẽ dây CD đi qua I và vuông góc với AB. Chứng minh rằng CD = AB
a)
Kẻ OH ┴ AB. Ta có:
AH = HB = ½ AB = 4 (cm)
Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông OHB, ta tính được OH = 3 (cm)
b)
Kẻ OK ┴ CD
Tứ giác OHIK có:
Suy ra, tứ giác OHIK là hình chữ nhật.
nên AB = CD (đpcm)
Suy ra OH = OK
Giải:
H
I
D
C
K
Do đó: OK = IH = 4 – 1 = 3 (cm)