Chương II. §3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Bài toán khởi động
Cho AB, CD là hai dây của (O;R). Kẻ OH?AB; OK?CD.
a) So sánh: HA với HB
b) Tính OH2 + HB2 và OK2 + KD2 theo R.

c) So sánh OH2 + HB2 với OK2 + KD2
Biết khoảng cách từ tâm của đường tròn đến hai dây, có thể so sánh độ dài hai dây đó được không?














Ti?t 24
§3
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây
Cho AB và CD là hai dây (khác đường kính) của đường tròn (O; R). Gọi OH, OK theo thứ tự là các khoảng cách từ O đến AB, CD. Chứng minh rằng :
1. Bài toán
A
B
D
K
C
O
R
H
OH2 + HB2 = OK2 + KD2
GT
KL
Cho(0; R).
Hai dây AB, CD ? 2R
OH2 + HB2 = OK2 + KD2














Tiết 24
§3
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây
1. Bài toán
.
A
B
D
K
C
O
R
H
(SGK)














Tiết 24
§3
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây
1. Bài toán
B
K
H
áp dụng định lí Py- ta - go vào các tam giác vuông OHB và OHD ta có:
OH2 + HB2 = OB2 = R2
OK2 + KD2 = OD2 = R2
OH2 + HB2 = OK2 + KD2
Cm
=>
(SGK)
*Trường hợp có một dây là đường kính
Chẳng hạn AB là đường kính
-Khi đó ta có:
OH = 0; HB = R
Mà OK2 + KD2 = R2
=>OH2 + HB2 = OK2 + KD2
*Trường hợp cả 2 dây AB, CD đều là đ.kính
-Khi đó ta có:
H và K đều trùng với O;
OH = OK = 0; HB = KD = R
Suy ra:OH2 + HB2 = R2
=> OH2 + HB2 = OK2 + KD2
* Chú ý: Kết luận của bài toán trên vẫn đúng nếu một dây là đường kính hoặc hai dây là đường kính.














Tiết 24
§3
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây
1. Bài toán
K
H
áp dụng địng lí Pi- ta - go ta có:
OH2 + HB2 = OB2 = R2
OK2 + KD2 = OD2 = R2
Cm
=>
(SGK)
* Chú ý: Kết luận của bài toán trên vẫn đúng nếu một dây là đường kính hoặc hai dây là đường kính.
OH2 + HB2 = OK2 + KD2
B














Tiết 24
§3
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây
1. Bài toán
(SGK)
OH2 + HB2 = OK2 + KD2
2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây
?1
Hãy sử dụng kết quả của bài toán ở mục 1 để chứng minh rằng:
a) Nếu AB = CD thì OH = OK.
b) Nếu OH = OK thì AB = CD.
a) Hướng dẫn
OH = OK
OH2 = OK2
HB2 = KD2
HB = KD
AB = CD
Định lí ®k vu«ng gãc víi d©y
B.toán:
OH2 + HB2 = OK2 + KD2
cm
a)
Theo ®ịnh lí ®k vu«ng gãc víi d©y
AB = CD => HB = KD => HB2 = KD2
Theo B.to¸n1: OH2 + HB2 = OK2 + KD2
=> OH2 = OK2 => OH = OK














Tiết 24
§3
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây
1. Bài toán
(SGK)
OH2 + HB2 = OK2 + KD2
2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây
?1
Hãy sử dụng kết quả của bài toán ở mục 1 để chứng minh rằng:
a) Nếu AB = CD thì OH = OK.
b) Nếu OH = OK thì AB = CD.
cm
Theo ®ịnh lí ®k vu«ng gãc víi d©y
AB = CD => HB = KD => HB2 = KD2
Theo B.to¸n1: OH2 + HB2 = OK2 + KD2
=> OH2 = OK2 => OH = OK
a)

Trong một đường tròn:
Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm
Qua câu a) ta thấy có quan hệ gì giữa 2 dây và khoảng cách từ tâm tới 2 dây?














Tiết 24
§3
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây
1. Bài toán
(SGK)
OH2 + HB2 = OK2 + KD2
2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây
?1
Hãy sử dụng kết quả của bài toán ở mục 1 để chứng minh rằng:
a) Nếu AB = CD thì OH = OK.
b) Nếu OH = OK thì AB = CD.
cm
Theo ®ịnh lí ®k vu«ng gãc víi d©y
AB = CD => HB = KD => HB2 = KD2
Theo B.to¸n: OH2 + HB2 = OK2 + KD2
=> OH2 = OK2 => OH = OK
a)
Qua câu a) ta thấy có quan hệ gì giữa 2 dây và khoảng cách từ tâm tới 2 dây?














Tiết 24
§3
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây
1. Bài toán
(SGK)
OH2 + HB2 = OK2 + KD2
2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây
?1
Hãy sử dụng kết quả của bài toán ở mục 1 để chứng minh rằng:
a) Nếu AB = CD thì OH = OK.
b) Nếu OH = OK thì AB = CD.
cm
Theo ®ịnh lí ®k vu«ng gãc víi d©y
AB = CD => HB = KD => HB2 = KD2
Theo B.to¸n: OH2 + HB2 = OK2 + KD2
=> OH2 = OK2 => OH = OK
a)
b)
Ta có: OH = OK => OH2 = OK2
Theo B.toán: OH2 + HB2 = OK2 + KD2
HB2 = KD2 => HB = KD
Theo đ?nh lớ đk vuông góc với dây
=> AB = CD
Qua câu b) ta thấy có quan hệ gì giữa 2 dây và khoảng cách từ tâm tới 2 dây?
Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.














Tiết 24
§3
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây
1. Bài toán
(SGK)
OH2 + HB2 = OK2 + KD2
2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây
?1
Hãy sử dụng kết quả của bài toán ở mục 1 để chứng minh rằng:
a) Nếu AB = CD thì OH = OK.
b) Nếu OH = OK thì AB = CD.
cm
Theo ®ịnh lí ®k vu«ng gãc víi d©y
AB = CD => HB = KD => HB2 = KD2
Theo B.to¸n: OH2 + HB2 = OK2 + KD2
=> OH2 = OK2 => OH = OK
a)
b)
Ta có: OH = OK => OH2 = OK2
Theo B.toán: OH2 + HB2 = OK2 + KD2
HB2 = KD2 => HB = KD
Theo đ?nh lớ đk vuông góc với dây
=> AB = CD
Qua câu b) ta thấy có quan hệ gì giữa 2 dây và khoảng cách từ tâm tới 2 dây?
Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.














Tiết 24
§3
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây
1. Bài toán
(SGK)
OH2 + HB2 = OK2 + KD2
2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây
Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
Định lí1:
Muốn biết 2 dây cung có bằng nhau hay không ta làm như thế nào?
Muốn biết khoảng cách từ tâm tới 2 dây có bằng nhau hay không ta làm như thế nào?
AB = CD ? OH = OK
O .
K
C
D
A
B
h














Tiết 24
§3
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây
1. Bài toán
(SGK)
OH2 + HB2 = OK2 + KD2
2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây
Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
Định lí1:
Muốn biết 2 dây cung có bằng nhau hay không ta làm gì?
Muốn biết khoảng cách từ tâm tới 2 dây có bằng nhau hay không ta làm như thế nào?
Quan hệ giữa 2 dây AB và CD ntn?
AB = CD ? OH = OK
Định lí1:














Tiết 24
§3
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây
1. Bài toán
(SGK)
OH2 + HB2 = OK2 + KD2
Định lí1:
AB = CD ? OH = OK
2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây














Tiết 24
§3
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây
1. Bài toán
(SGK)
OH2 + HB2 = OK2 + KD2
Định lí1:
AB = CD ? OH = OK
2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây
?2
Hãy sử dụng kết quả của bài toán ở mục 1 để so sánh các độ dài:
a) OH và OK, nếu biết AB > CD .
b) AB và CD, nếu biết OH < OK .
a) NÕu AB > CD th× HB > KD (®.kÝnh d©y)
=> HB2 > KD2
mµ OH2 + HB2 = KD2 + OK2 (kq b.to¸n)
Suy ra OH2 < OK2
VËy OH < OK
Chứng minh
Qua câu a) ta thấy có quan hệ gì giữa 2 dây và khoảng cách từ tâm tới 2 dây?

Trong hai dây của một đ. tròn:
Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn














Tiết 24
§3
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây
1. Bài toán
(SGK)
OH2 + HB2 = OK2 + KD2
Định lí1:
AB = CD ? OH = OK
2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây
?2
Hãy sử dụng kết quả của bài toán ở mục 1 để so sánh các độ dài:
a) OH và OK, nếu biết AB > CD .
b) AB và CD, nếu biết OH < OK .
Qua câu a) ta thấy có quan hệ gì giữa 2 dây và khoảng cách từ tâm tới 2 dây?














Tiết 24
§3
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây
1. Bài toán
(SGK)
OH2 + HB2 = OK2 + KD2
Định lí1:
AB = CD ? OH = OK
2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây
?2
Hãy sử dụng kết quả của bài toán ở mục 1 để so sánh các độ dài:
a) OH và OK, nếu biết AB > CD .
b) AB và CD, nếu biết OH < OK .
Qua câu a) ta thấy có quan hệ gì giữa 2 dây và khoảng cách từ tâm tới 2 dây?














Tiết 24
§3
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây
1. Bài toán
(SGK)
OH2 + HB2 = OK2 + KD2
Định lí1:
AB = CD ? OH = OK
2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây
?2
Hãy sử dụng kết quả của bài toán ở mục 1 để so sánh các độ dài:
a) OH và OK, nếu biết AB > CD .
b) AB và CD, nếu biết OH < OK .
Nếu OH < OK => OH2 < OK2
mà HB2 + OH2 = OK2 + KD2 (kq b.toán)
do đó HB2 > KD2
=> HB > KD
=> AB > CD (đ.kính dây)
Qua câu b) ta thấy có quan hệ gì giữa 2 dây và khoảng cách từ tâm tới 2 dây?
Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn
b)














Tiết 24
§3
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây
1. Bài toán
(SGK)
OH2 + HB2 = OK2 + KD2
Định lí1:
AB = CD ? OH = OK
2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây
Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn














Tiết 24
§3
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây
1. Bài toán
(SGK)
OH2 + HB2 = OK2 + KD2
Định lí1:
AB = CD ? OH = OK
2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây
?2
Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn
Định lí2:
Muốn so sáng độ dài 2 dây ta làm như thế nào?
Muốn so sánh độ dài kho?ng cách từ tâm tới 2 dây ta làm như thế nào?
AB > CD ? OH < OK














Tiết 24
§3
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây
1. Bài toán
(SGK)
OH2 + HB2 = OK2 + KD2
Định lí1:
AB = CD ? OH = OK
2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây
Định lí2:
AB > CD ? OH < OK
§3
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây
1. Bài toán
(SGK)
OH2 + HB2 = OK2 + KD2
Định lí1:
AB = CD ? OH = OK
2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây
Định lí2:
AB > CD ? OH < OK
Cho ? ABC, O là giao điểm của các đường trung trực của ?; D,E,F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB,BC,AC. Cho biết OD > OE, OE = OF. Hãy so sánh:
a) BC và AC;
b) AB và AC;
?3
Giải
Vì O là giao điểm của các đường trung trực của ?ABC
=>O là tâm đường tròn ngoại tiếp ?ABC
OE = OF
OD > OE, OE = OF
Theo đlí 2b => AB < AC
nên OD > OF
Theo đlí 1b => BC = AC.














Tiết 24
§3
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây
1. Bài toán
(SGK)
OH2 + HB2 = OK2 + KD2
Định lí1:
AB = CD ? OH = OK
2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây
Định lí2:
AB > CD ? OH < OK
Trong một đường tròn
a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
Trong hai dây của một đường tròn
a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
Bài tập về nhà
Học thuộc và chứng minh lại hai định lí.
Làm bài tập: 12; 13; 14; (SGK - T 106).