Chương II. §2. Mặt cầu

Phát biểu định lý trung tuyến trong tam giác ?
A
B
M
C
Tập hợp các điểm trong mặt phẳng cách đều một điểm cố định là gì?
1/. ĐỊNH NGHĨA
Cho một điểm O cố định và một số thực dương R.
Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách điểm O một khoảng bằng R được gọi là mặt cầu tâm O bán kính R.
Ký hiệu : S(O;R) hay viết tắt là (S)
Như vậy ta có : S(O;R) = {M / OM = R } .
A3
A2
A1
B
O
Nếu OA = R thì điểm A nằm trên mặt cầu S(O;R)
Nếu OA < R thì điểm A nằm trong mặt cầu S(O;R)
Nếu OA > R thì điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O;R)
2/ Bán kính, đường kính của mặt cầu:
A
B
O
* Nếu điểm A nằm trên mặt cầu S(O;R)
thì đoạn thẳng OA được gọi là
bán kính mặt cầu (S).
* B đối xứng với A qua tâm O thì AB được gọi là đường kính của mặt cầu (S).
Tìm tập hợp tất cả những điểm M trong không gian sao cho tổng bình phương các khoảng cách từ M tới hai điểm cố định A và B bằng một hằng số k2.
Ví dụ 1:
A
B
O
M
Giải:
Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB, với M bất kỳ ta có:
OM2 =
MA2+MB2
AB2
2
4
=
k2
2
AB2
4
*Nếu
k2
2
AB2
4
>
thì đặt
Ta có:
{M/ MA2+MB2= k2} = {M/ OM = R}=S(O;R).
Khi đó quỹ tích điểm M là mặt cầu tâm O bán
kính
{M/ MA2+MB2= k2}= ???
thì đặt
thì OM= 0 hay M 0
Khi đó quỹ tích điểm M là một điểm O.
*Nếu
thì quỹ tích là tập rỗng.
Ví dụ 2:
Cho tam giác ABC vuông tại B, DA (ABC)
a/ Xác định mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D
b/ Cho AB = 3a, BC = 4a, AD = 5a. Tính bán kính mặt cầu nói trên.
D
A
B
C
Giải:
a/ Ta có:
DA (ABC)
DA BC
Lại có: AB BC
nên BC DB.
Suy ra: DAC = DBC = 900
Vậy A,B,C,D nằm trên mặt cầu tâm O là trung điểm DC
I
Bài 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MẶT CẦU
VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG
I. Vị trí tương đối của một mặt cầu và một mặt phẳng:
Cho một mặt cầu S(O;R) và mp(P) bất kỳ.
Gọi H = hc O /mp(P)
Khi đó OH = d ? O, mp(P) ?
H
R
Ta xét các trường hợp sau :
Khi đó mọi điểm M ? (P) thì OM>OH. Vậy mọi điểm của (P) đều nằm ngoài mặt cầu (S)
Vậy (S) ? (P) = ?
M
Nếu OH > R:
P
Bài 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MẶT CẦU
VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG
I. Vị trí tương đối của một mặt cầu và một mặt phẳng:
Cho một mặt cầu S(O;R) và mp(P) bất kỳ.
Gọi H = hc O / mp(P)
Khi đó OH = d ? O, mp(P) ?
H
R
Ta xét các trường hợp sau :
Khi đó điểm H ? (S). ? M? (P), M ? H . thì OM > OH = R .
Vậy (S) ? (P) = H
M
Điểm H gọi là tiếp điểm của (S) và (P)
Mặt phẳng (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (S)
P
Nếu OH = R:
Bài 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MẶT CẦU
VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG
H
R
Khi đó mp(P) sẽ cắt mặt cầu (S) theo một đ tròn C( H, r ) với r = ?R2 ? d2
I. Vị trí tương đối của một mặt cầu và một mặt phẳng:
Cho một mặt cầu S(O;R) và mp(P) bất kỳ.
Gọi H = hc O / mp(P)
Khi đó OH = d ? O, mp(P) ?
Ta xét các trường hợp sau :
M
Khi d=0 thì
(S)?(P) = C (O;R)
C(O;R) gọi là đường tròn lớn của mặt cầu S(O;R).
Vậy (S)?(P) = C(H,r)
P
Nếu OH < R:
Bài 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MẶT CẦU
VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG
R
II. Vị trí tương đối của một mặt cầu và một đường thẳng:
Cho một mặt cầu S(O;R) và đường thẳng (d) bất kỳ.
Gọi H = hc O /(d)
Khi đó OH = d ? O, (d) ?
Ta xét các trường hợp sau :
Vậy d ?(S) = ?

P
Nếu d> R:
(C)
H
d
Nếu d không đi qua O thì: (O,d)?(S)= C(O;R)
Khi đó: d ?(C)= ?
Nếu d đi qua O thì d cắt mặt cầu tại 2 điểm A,B với AB là đường kính của mặt cầu
Bài 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MẶT CẦU
VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG
II. Vị trí tương đối của một mặt cầu và một đường thẳng:
Cho một mặt cầu S(O;R) và đường thẳng (d) bất kỳ.
Gọi H = hc O /(d)
Khi đó OH = d ? O, (d) ?
Ta xét các trường hợp sau :
Vậy d ?(S) = {H}

P
Nếu d= R:
(C)
H
d
Nếu d không đi qua O thì: (O,d)?(S)= C(O;R)
Khi đó: d ?(C)= {H}
Ta nói rằng d tiếp xúc với mặt cầu S(O;R) tại điểm H, điểm H gọi là tiếp điểm của d và (S)
Đường thẳng d gọi là tiếp tuyến của mặt cầu (S)
Bài 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MẶT CẦU
VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG
II. Vị trí tương đối của một mặt cầu và một đường thẳng:
Cho một mặt cầu S(O;R) và đường thẳng (d) bất kỳ.
Gọi H = hc O /(d)
Khi đó OH = d ? O, (d) ?
Ta xét các trường hợp sau :
Vậy d cắt (S) tại 2 điểm
P
Nếu d< R:
(C)
H
d
Nếu d không đi qua O thì: (O,d)?(S)= C(O;R)
Khi đó: d cắt (C) tại 2 điểm
Bài 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MẶT CẦU
VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG
III.Các tính chất của tiếp tuyến:
Định lý 1:
Qua điểm A nằm trên mặt cầu S(O;R) có vô số tiếp tuyến của mặt cầu (S). Tất cả các tiếp tuyến này đều nằm trên tiếp diện của (S) tại điểm A.
P
a
A
Bài 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MẶT CẦU
VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG
O
III.Các tính chất của tiếp tuyến:
Định lý 2:
Qua điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O;R) có vô số tiếp tuyến với mặt cầu (S). Độ dài các đoạn thẳng kẻ từ A tới các tiếp điểm đều bằng nhau.
A
M
M’
(C)
p
Ví dụ:
Cho mặt cầu S(O;a) và một điểm A, biết OA = 2a, qua A kẻ một tiếp tuyến tiếp xúc (S) tại B và cũng qua A kẻ một cát tuyến cắt (S) tại C và D, biết CD = a 3 . a/ Tính AB. b/ Tính d(O,CD)
O
A
B
D
H
C
Đáp số:
b/ d(O,CD) =