Chương II. §2. Mặt cầu

Giáo viên: Đào Huy Nam
Trường THPT Mỹ Đức A.
Kiểm tra bài cũ
Câu 1: Hãy cho biết định nghĩa nào sau đây là định nghĩa mặt cầu:
Mặt cầu là tập hợp các điểm trong mặt phẳng cách điểm I cố định 1 khoảng không đổi R.
Mặt cầu là tập hợp các điểm trong không gian cách điểm I cố định 1 khoảng không đổi R.
B
Câu 2: Mặt cầu hoàn toàn được xác định nếu:
Biết tâm mặt cầu
Biết bán kính của mặt cầu
Biết tâm và bán kính hoặc biết đường kính của nó.
C
Câu 3:
Điểm M thuộc mặt cầu S(I;R) khi:
IM < R
IM > R
IM = R
C
Bây giờ trong không gian Oxyz cho mặt cầu S(I; R) khi đó tâm I có tọa độ (a, b, c) bán kính R. Mặt cầu (S) sẽ có phương trình xác định. Ta đi xây dựng phương trình mặt cầu.
1. Phương trình mặt cầu:
Bài toán: Cho mặt cầu S(I; R) với I(a;b;c). Tìm điều kiện cần và đủ để M(x;y;z) thuộc mặt cầu.
z
M



y

x
I
Giải:
M ? (S) ? IM = R ?
(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2 (1)
(1) Là điều kiện cần và đủ để M thuộc (S).


Phương trình (1) được gọi là phương trình của mặt cầu.
Đặc biệt khi tâm I trùng với gốc O ta có phương trình mặt cầu:
x2 + y2 + z2 = R2
* Xét phương trình :
x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0(2)
Hãy biến đổi phương trình (2) về phương trình dạng (1).
Ta có:
(x + A)2 + (y + B)2 + (z + C)2 = A2 + B2 + C2 - D(3)
nếu A2 + B2 + C2 - D > 0 thì (3) là phương trình mặt cầu
Có tâm I(-A; -B; -C), bán kính R =
Phương trình (2) với A2 + B2 + C2 - D > 0
cũng được gọi là
phương trình của mặt cầu

2. Ví dụ :
Ví dụ 1
Cho biết phương trình nào sau đây là phương trình của một mặt cầu.
x2 + y2 + z2 +x + y +z + 100 = 0
x2 - y2 + z2 +2x + 3y +z - 100 = 0
x2 + y2 + z2 +2x + 4y +6z - 2 = 0
2x2 + 3y2 + z2 +x + y +z - 100 = 0
x2 + y2 + z2 +2xy + yz - 100 = 0


C
Ví dụ 2:
Cho mặt cầu:
x2 + y2 + z2 +4x - 2y -6z - 11 = 0.
Tâm và bán kính của mặt cầu là:
A. I(4; -2; -6), R =
I(2; -1; -3), R = 5
I(-2; 1; 3), R = 5
C
Ví dụ 3:
Tìm tâm và bán kính mặt cầu sau:
3x2 + 3y2 + 3z2 +6x - 3y +15z - 2 = 0
Giải:
Viết lại phương trình :
x2 + y2 + z2 +2x - y +5z - = 0
2A = 2 ? A = 1; 2B = -1? B =- ; 2C = 5? C =
Tâm I(-1; ;- ) R =
Chú ý:
Từ phương trình dạng (2) nêú D ? 0 thì (2) luôn là phương trình mặt cầu.
Phương trình dạng:
A(x2 + y2 + z2) +2Bx + 2Cy +2Dz + E = 0
Với A ? 0 và B2 + C2 + D2 - AE > 0 cũng là phương trình của một mặt cầu.
c. Phương trình mặt cầu là phương trình bậc hai đối với x,y,z. Hệ số của x2, y2,z2 bằng nhau và khác không.
PTkhông chứa số hạng yz,zx,xy
3. Giao của mặt cầu
và mặt phẳng


Trong không gian Oxyz cho mặt cầu S và mặt phẳng (a) có phương trình :
(a): Ax + By + Cz + D = 0
(S): (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2
gọi IH là khoảng cách từ tâm I(a;b;c) đến mặt phẳng(a)ta có:


nếu IH > R thì (a) ? (S) = ?khi đó mặt phẳng không cắt mặt cầu



I

H
nếu IH = R: (a) tiếp xúc với (S) tại H(mặt phẳng(a) gọi là tiếp diện)




R
I


H
nếu IH < R thì (a) ? (S) theo giao tuyến là một đường tròn có tâm H bán kính bằng
Hệ phương trình:

Với điều kiện:

Là phương trình
đường tròn trong không gian.

I
H
Như vậy: để xét giao của mặt cầu và mặt phẳng ta cần tính khoảng cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng và so sánh với bán kính mặt cầu.
Ví dụ:
Tìm tâm và bán kính của đường tròn sau:

Giải:
ta có I(6;-2;3), R = 5


bán kính đường tròn là:

Bây giờ ta tìm tâm H của đường tròn
Viết PT đường thẳng d qua I vuông góc (P) :


Tọa độ H là nghiệm hệ:


Suy ra


Tổng quát:
Cách tìm tâm đường tròn trong không gian khi biết phương trình cho trước.
Bước 1: viết phương trình đường thẳng qua tâm I của mặt cầu và vuông góc với mặt phẳng .
Bước 2: Tìm giao điểm H của đường thẳng vừa lập với mặt phẳng đã cho.
Bước 3: kết luận H chính là tâm đường tròn cần tìm.
Tổng kết bài học:
Biết viết phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính hoặc đường kính.
Biết xác định tâm và bán kính mặt cầu khi biết phương trình cho trước.
xét được vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu.
Nắm được dạng phương trình đường tròn trong không gian
Bài tập:
Làm các bài tập trong sách giáo khoa.