Chương II. §2. Mặt cầu

Chương II : Bài 2
MẶT CẦU
Biên soạn
Phạm Quốc Khánh
Chương trình thay sách giáo khoa 2008
Click
I. Mặt cầu và các khái niệm liên quan đến mặt cầu:
1) Mặt cầu :
Tập hợp điểm M trong không gian cách đều điểm O cố định một khoảng bằng r (r > 0) không đổi gọi là mặt cầu tâm O bán kính r
M
O
r
Ký hiệu :
(S) = S(O;r) = {M / OM = r}
* Chú ý :
O
M
r
C
. Nếu 2 điểm C , D nằm trên mặt cầu S(o ; r) Thì đoạn CD được gọi là đáy cung của mặt cầu đó . (Hình vẽ)
D
. Dây cung AB đi qua tâm O được gọi là 1 đường kính của mặt cầu . Độ dài đường kính là 2r
A
B
. Mặt cầu được xác định nếu biết tâm và bán kính của nó hoặc biết một đường kính của mặt cầu đó.
Click
A”
2) Điểm nằm trong và nằm ngoài mặt cầu . Khối cầu :
Cho mặt cầu tâm O bán kính r và A là 1 điểm bất kỳ trong không gian
Nếu OA = r  A nằm trên S(O; r)
O
A
r
Nếu OA’ < r
A’
 A’ nằm trong S(O; r)
Nếu OA” > r
 A’’ nằm ngoài S(O; r)
Tập hợp tất cả các điểm thuộc mặt cầu S(O ; r) cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu hoặc hình cầu tâm O bán kính r .
B
3) Biễu diễn mặt cầu
Người ta thường dùng phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng để biểu diễn mặt cầu . Hình biễu diễn mặt cầu là 1 hình tròn.
O
Để hình sinh động người ta còn vẽ thêm các một số đường tròn nằm trên mặt cầu đó.
A
B
Click
4 Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu :
Xem mặt cầu như là mặt tròn xoay được tạo bởi một nửa đường tròn quay quanh trục chứa đường kính của nửa đường tròn đó
O
Lúc đó giao tuyến của mặt cầu với các nửa mặt phẳng có bờ là trục của mặt cầu được gọi là kinh tuyến của mặt cầu .
Kinh tuyến
Giao tuyến của mặt cầu với các mặt phẳng vuông góc với trục của mặt cầu được gọi là vĩ tuyến của mặt cầu .
Vĩ tuyến
Giao điểm của mặt cầu với trục được gọi là hai cực của mặt cầu
A
B
* Ví dụ minh họa :
Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn đi qua 2 điểm cố định A và B cho trước .
Click
* Ví dụ minh họa :
Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn đi qua 2 điểm cố định A và B cho trước .
* Giải (gợi ý) :
Cho 2 điểm cố định A và B
A
B
Giả sử có mặt cầu (S) đi qua A , B tâm O
O
Vậy có OA = OB và O di động nên O sẽ nằm trên mặt phẳng trung trực của AB
H
Click
II. Giao của mặt cầu và mặt phẳng:
Cho mặt cầu S(O ; r) và mặt phẳng (P) . Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mp (P) . Khi đó h = OH là khoảng cách từ O tới mp(P) . Có 3 trường hợp xảy ra
1) Trường hợp h > r :
O
P
H
Nếu M là 1 điểm bất kỳ trên (P) thì OM ≥ OH .
M
Suy ra OM > r
Vậy mọi điểm M thuộc mp(P) đều nằm ngoài mặt cầu (S) .
Do đó mặt phẳng (P) không có điểm chung với mặt cầu (S) .
r
Click
2) Trường hợp h = r :
O
P
H
Điểm H thuộc mặt cầu S(o ; r)
M
Với mọi M thuộc mp(P) thì Suy ra OM > r = OH
Vậy H là điểm chung duy nhất của mp(P) và mặt cầu (S)
Ta nói mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại H . .
Điểm H gọi là tiếp điểm của mặt cầu (S) và mp(P) . .
Mặt phẳng (P) gọi là mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện của mặt cầu . . .
Vậy có : Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(o ; r) tại điểm H là (P) vuông góc với bán kính OH tại điểm H đó
r
Click
3) Trường hợp h < r :
O
P
H
Trường hợp này mp(P) cắt mặt cầu S(o ; r) theo đường tròn tâm H bán kình r’ và
M
r
h
Thật vậy gọi M là giao điểm của (P) và (S) . Xét tam giác vuông OMH có
Do đó M nằm trên đường tròn tâm H bán kính MH = r’
Khi mp(P) đi qua O tức là H  O (h = 0) Ta có giao tuyến là đường tròn tâm O bán kính r . Và được gọi là đường tròn lớn .
Mặt phẳng qua O gọi là mặt phẳng kính của mặt cầu .
O
r
Click
đường tròn lớn .
Mặt phẳng
kính .
* Ví dụ minh họa :
Hãy xác định đường tròn giao tuyến của mặt cầu S(o ; r) và mp() , biết rằng khoảng cách từ tâm O đến () bằng r/2 .
b) Cho mặt cầu S(o ; r) , hai mp() và mp() có khoảng cách đến tâm O của mặt cầu đã cho lần lượt là a và b ( 0 < a < b < r) . Hãy so sánh hai bán kính của các đường tròn giao tuyến
* Giải (trình bày bằng hình vẽ ) :
O
r
Chú ý OH = r/2
H
b) Chú ý OH = r/2
O
a
)
)
)
H1
H2
b
M
M1
M2
0 < a < b < r  M2H2 < M1H1
Click
III. Giao của mặt cầu với đường thẳng tiếp tuyến của mặt cầu:
Cho mặt cầu S(O ; r) và đường thẳng ()
O
r

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên () , và d = OH . Có 3 trường hợp xảy ra :
H
d
1) Trường hợp d > r :
M
Mọi điểm M thuộc () đều có OM > r nên nằm ngoài mặt cầu
2) Trường hợp d = r :
O
r

H
d = r
M
Mọi điểm M thuộc () đều có OM > OH = r nên OM > r . Vậy H là điểm chung duy nhất của () với (S) .
Khi đó nói đường thẳng () tiếp xúc mặt cầu (S) tại H . Điểm H gọi là điểm tiếp xúc .( tiếp điểm) . Đường thẳng () gọi là tiếp tuyến với mặt cầu
Điều kiện cần và đủ để đường thẳng ()
Tiếp xúc với mặt cầu S(o ; r) tại điểm H là () vuông góc với bán kính OH tại điểm H đó
Click
3) Trường hợp d < r :
Thì đường thẳng () cắt mặt cầu tại 2 điểm M , N . Nó là giao điểm của () với đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S) với mp chứa () và điểm O .
O
r

H
d
M
N
Đặc biệt khi d = 0 thì đường thẳng qua tâm O và cắt mặt cầu tại A , B và AB là đường kình của mặt cầu .
Người ta chứng minh được : Tại 1 điểm A trên mặt cầu có vô số tiếp tuyến với mặt cầu . Các tiếp tuyến đó nằm trên mp tiếp xúc với mặt cầu tại điểm A
O
A
2. Qua 1 điểm A ở ngoài mặt cầu kẻ vô số tiếp tuyến với mặt cầu .Các tiếp tuyến tạo thành mặt nón đỉnh A . Các độ dài đọan thẳng từ A đến mặt cầu bằng nhau
O
Click
Chú ý :
Người ta nói mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt cầu đó tiếp xúc tất cả các mặt hình đa diện .. Còn nói mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu.
Khi mặt cầu nội tiếp (ngoại tiếp ) hình đa diện , cũng nói rằng hình đa diện ngoại tiếp (nội tiếp) hình cầu .
* Ví dụ minh họa :
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a . Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu
a) Đi qua 8 đỉnh của hình lập phương .
b) Tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương .
c) Tiếp xúc với 6 mặt của hình lập phương .
Giải (hướng dẫn ) :
A
A’
B
C
C’
D
D’
B’
O
A
A’
C’
D
D’
B’
O
B
C
A
A’
B
C
C’
D
D’
B’
O
Click
IV. Công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
Cho mặt cầu S(O ; r) , gọi V thể tích , S diện tích cầu
Dùng phương pháp giới hạn đã chứng minh được :
S = 4  r2
Diện tích mặt cầu
2. Thể tích khối cầu
r
Chú ý :
a) Diện tích S của mặt cầu bán kính r bằng 4 lần diện tích hình tròn lớn
b) Thể tích V của khối cầu bán kính r bằng thể tích khối chóp có diện tích đáy bằng diện tích mặt cầu và có chiều cao bằng bán kính khối cầu
Ví dụ minh họa :
Cho hình lập phương ngoại tiếp mặt cầu bán kính r . Tính thể tích khối lập phương .
A
A’
B
C
C’
D
D’
B’
O
Giải (gợi ý)
Theo kết quả trên có :
nên : AB = 2r
Vậy thể tích khối lập phương là :
Click
3. Ví dụ :
a) Ví dụ 1 :
Tìm tập hợp điểm M nhìn đoạn AB dưới một góc vuông
M
A
B
Giải :
O
Gọi O là trung điểm AB
Vì
Nên M luôn cách O
khoảng
Vậy M  {M / OM = }
Vậy tập hợp điểm M là mặt cầu tâm O đường kính AB
Click
b) Ví dụ 2 :
Tìm tập hợp điểm M sao cho tổng bình phương các khoảng cách từ M tới 2 điểm cố định A , B bằng 1 hằng số k2
Giải :
M
A
B
Yêu cầu : Tìm M thỏa MA2 + MB2 = k2
Gọi O là trung điểm AB
O
Vậy theo định lý trung tuyến  AMB có
Vậy M phụ thuộc :
1.
 M  S(O;OM)
Mặt cầu tâm O bán kính OM
2.
 OM = 0  M  O
3.
 Không tồn tại quỹ tích
Click
c) Ví dụ 3 : trắc nghiệm
1. Cho 3 điểm A , B , C nằm trên mặt cầu , biết rằng góc ACB = 900 . Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng .
A
AB là 1 đường kính của mặt cầu .
B
Luôn có một đường tròn nằm trên mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABC .
C
Tam giác ABC vuông cân tại C .
D
Mp(ABC) cắt mặt cầu theo giao tuyến là 1 đường tròn lớn
2. Một hình hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu có 3 kích thước là a , b , c . Khi đó bán kính r của mặt cầu baằng :
A
B
C
D
Click
4. Củng cố và bài tập :
Bài tập về nhà 5 ; 6 ; 7 ; 10 trang 49 sgk hh12 - 2008