Chương II. §2. Mặt cầu

Định nghĩa: mặt cầu tâm I bán kính R?
S(I;R) = {M / IM = R}
Định nghĩa: Cho một điểm I cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách điểm I một khoảng bằng R được gọi là mặt cầu tâm I bán kính R.
Ta thường kí hiệu mặt cầu tâm I bán kính R là là S (I;R) hay viết tắt là (S).
Nếu hai điểm C, D nằm trên mặt cầu thì đoạn CD còn gọi là dây cung của mặt cầu.
R
Hình biểu diễn một mặt cầu:
Người ta thường dùng phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng để biểu diễn mặt cầu. Khi đó hình biểu diễn của mặt cầu là một hình tròn.
Muốn hình biểu diễn của mặt cầu được trực quan người ta thường vẽ thêm hình biểu diễn của một số đường tròn nằm trên mặt cầu.
Giả sử cho mặt cầu S(I; R) và một điểm A nào đó.
Nếu IA = R thì theo định nghĩa điểm A nằm trên mặt cầu S (I; R). Đoạn thẳng IA được gọi là bán kính.
Nếu IA < R ta nói rằng điểm A nằm trong mặt cầu S(I;R).
Nếu IA > R ta nói rằng điểm A nằm ngoài mặt cầu S (I; R).
Đoạn thẳng MN qua tâm I có hai đầu M, N nằm trên mặt cầu gọi là đường kính.
Một mặt cầu được xác định khi biết tâm và bán kính hoặc khi biết một đường kính.
IIĐịnh nghĩa: kh?i cầu tâm I bán kính R?
Khối cầu S(I;R) = {M trong không gian / IM  R}
Tập hợp tất cả những điểm thuộc mặt cầu tâm I bán kính R cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu S (I;R) hoặc hình cầu S(I;R)
Phiếu học tập số 1:
Cho hai điểm A, B cố định. CMR: Tập hợp các điểm M sao cho
là mặt cầu đường kính AB
Cho tứ diện đều cạnh bằng a. Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 2a2
Phiếu học tập số 2:
Phiếu học tập số 3:
Cho S(I;R) và mp(P).Gọi M là hình chiếu của I trên (P) và d = d(I;P) = IM
CMR: N là điểm chung của mặt cầu và mặt phẳng (P) khi và chỉ khi N(P) và MN2 = R2 – d2.
Từ đó có thể kết luận được gì về giao của mặt cầu S(I;R) và mp(P) trong các trường hợp:
a) d > R b) d = R c) d < R
III.Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng:
III.Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng:
Cho S(I;R) và mp(P).Gọi M là hình chiếu của I trên (P) và d = d(I;P) = IM
Trường hợp 1:
d > R  (S) và (P) không có điểm chung.
III.Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng:
Trường hợp 2:
d = R  (S) và (P) tiếp xúc tại M và (P) được gọi là tiếp diện của (S). (P) vuông góc IM tại M, M là tiếp điểm
III.Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng:
Trường hợp 3:
d < R  (S) và (P) cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn. Tâm là M. Bán kính
Đặc biệt:
Khi d = 0 thì (P) đi qua tâm mặt cầu, (P) được gọi là mặt phẳng kính, giao tuyến là đường tròn có bán kính R gọi là đường tròn lớn của mặt cầu
Đặc biệt:
Khi d = 0 thì (P) đi qua tâm mặt cầu, (P) được gọi là mặt phẳng kính, giao tuyến là đường tròn có bán kính R gọi là đường tròn lớn của mặt cầu
1. Điều kiện tiếp xúc
Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng bằng bán kính.
2. Đường tròn trong không gian là giao tuyến của một mặt cầu và một mặt phẳng
Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu S(I;R) tại H khi và chỉ khi (P) vuông góc với IH tại H
Định nghĩa: Mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của hình đa diện H gọi là mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện H, hình đa diện H được gọi là nội tiếp mặt cầu đó
CMR: Hình chóp nội tiếp trong mặt cầu khi và chỉ khi đáy của nó nội tiếp được trong đường tròn
Phiếu học tập số 4:
Tại sao có thể nói hình tứ diện nào cũng nội tiếp trong mặt cầu.
Phiếu học tập số 5:
Hình lăng trụ tam giác có cạnh bên vuông góc với đáy có thể nội tiếp trong mặt cầu không? Vì sao?
Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện:
Định nghĩa: Mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của hình đa diện H gọi là mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện H, hình đa diện H được gọi là nội tiếp mặt cầu đó
Định lý: Hình chóp nội tiếp trong mặt cầu khi và chỉ khi đáy của nó nội tiếp được trong đường tròn
Hệ quả: Hình tứ diện nào cũng nội tiếp trong mặt cầu
3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho S(I;R) và đường thẳng .Gọi M là hình chiếu của I trên  và d = d(I; ) = IM
Trường hợp 1:
d > R  (S) và  không có điểm chung.
3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho S(I;R) và đường thẳng .Gọi M là hình chiếu của I trên  và d = d(I; ) = IM
Trường hợp 2:
d = R  (S) và  tiếp xúc tại M và  được gọi là tiếp tuyến của (S).  vuông góc IM tại M, M là tiếp điểm
3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho S(I;R) và đường thẳng .Gọi M là hình chiếu của I trên  và d = d(I; ) = IM
Trường hợp 3:
d < R  (S) và  cắt nhau tại hai điểm A, B
Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào đúng?
Đường thẳng  tiếp xúc mặt cầu S(I;R) tại H khi và chỉ khi  vuông góc với IH tại H
Có vô số đường thẳng  tiếp xúc mặt cầu S(I;R) tại H và chúng nằm trên mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu tại H
Phiếu học tập số 6:
1. Điều kiện tiếp xúc
Đường thẳng tiếp xúc mặt cầu khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng bằng bán kính.
Đường thẳng  tiếp xúc mặt cầu S(I;R) tại H khi và chỉ khi  vuông góc với IH tại H
Có vô số đường thẳng  tiếp xúc mặt cầu S(I;R) tại H và chúng nằm trên mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu tại H
Phiếu học tập số 7:
Hãy chứng minh rằng có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của một tứ diện đều ABCD cho trước.
Lấy mặt phẳng bất kì đi qua AO, nó cắt mặt cầu S(O;R) theo một đường tròn (C). Gọi AH là một tiếp tuyến của (C) tại H.
a) CMR: AH cũng tiếp xúc với mặt cầu tại H
b) Tính AH theo R và d = OA
c) Kẻ HI vuông góc OA tại I. CMR: I là điểm cố định không phụ thuộc vào tiếp tuyến AH
 Cho A nằm ngoài mặt cầu S(O;R)
Phiếu học tập số 8:
Đường thẳng đi qua điểm A nằm trong mặt cầu có tiếp xúc với mặt cầu hay ?
Định lý:
A nằm trong mặt cầu S(O;R) thì không có tiếp tuyến nào qua A.
A nằm ngoài mặt cầu S(O;R) thì có vô số tiếp tuyến qua A. Khi đó:
Các đoạn thẳng nối A và các tiếp điểm đều bằng nhau.
Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu.
4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu:
. Mỗi nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB cắt mặt cầu theo nửa đường tròn đường kính AB. Ta gọi các nửa đường tròn đó là các kinh tuyến ứng với đường kính AB.
Cho mặt cầu đường kính AB
Kinh tuy?n
4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu:
Cho mặt cầu đường kính AB
Vi tuy?n
. Mỗi mặt phẳng vuông góc với đường kính AB nếu cắt mặt cầu theo một đường tròn. Ta gọi các đường tròn đó là các vĩ tuyến ứng với đường kính AB
4. Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu:
Diện tích mặt cầu S(I;R) là: S = 4R2
Thể tích khối cầu S(I;R) là:
Dùng phương pháp giới hạn người ta chứng minh được các công thức sau đây.
Nhận xét:
 Diện tích mặt cầu bán kính R gấp bốn lần diện tích đường tròn lớn của nó.
 Thể tích mặt cầu bằng thể khối chóp có diện tích đáy bằng diện tích mặt cầu và chiều cao bằng R