Chương II. §2. Mặt cầu

1. Phương trình mặt cầu:
Giả sử mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c), bán kính R
M(x;y;z) (S)  IM = R
Mặt cầu (S): tâm I(a;b;c), bán kính R,
có phương trình:
(x - a)2 + (y - b)2 +(y - c)2 =R2 (1)
Đặc biệt: Phương trình mặt cầu tâm O, có pt:
x2 + y2 + z2 = R2
Ví dụ 1: Viết phương trình mặt cầu (S) biết:
a). (S) có tâm I(1;-2;3) bán kính R = 4
b). (S) có đường kính là AB biết A(-1;3;4), B(1;1;2)
c). (S) có tâm I(1;2;-1) và đi qua điểm M(3;1;-1)
GiẢI
a). (S) có tâm I(1;-2;3) bán kính R = 4
(S): (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 16
b). (S) có đường kính là AB nên có tâm I là trung điểm AB
Vậy:
c). Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;-1) và qua M(3;1;-1)
Vậy:
Ví dụ 2: Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu?
Nếu là phương trình mặt cầu. Hãy tìm tâm và bán kính.
a). x2 + y2 + z2 -2x – 4y + 6z + 2 = 0 (1)
b). 3x2 + 3y2 + 3z2 - 6x + 3y -9z + 27 = 0 (2)
a). x2 + y2 + z2 - 2x – 4y + 6z + 2 = 0
GiẢI
Ta có:
ĐK:
Vậy (1) là PT mặt cầu tâm I(1;2;-3)

Bán kính:
b). (2)  x2 + y2 + z2 - 2x + y - 3z +9 = 0
Ta có:
ĐK:
Vậy (2) không phải là PT mặt cầu
2. Giao của mặt cầu và mặt phẳng:
Trên hệ tọa độ Oxyz cho:
mp(P): Ax + By + Cz + D = 0
Mặt cầu (S): (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2
Gọi H là hình chiếu của tâm I(a;b;c) của (S) trên mp(P)
Ta có IH = d(I,(P))
* IH > R  (P)(S) = 
* IH = R  (P)(S) = {H}
mp(P): là tiếp diện của (S) tại H
. I
R
* IH < R  (P) (S) = C(H;r)

Với:
Đường tròn (C):
Ví dụ 1: Tìm tâm và bán kính của đường tròn:
GiẢI
Mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 6x + 2y -4z +10 = 0
Có tâm I(3;-1;2), bán kính R = 2
Gọi  là đường thẳng qua I(3;-1;2)
và vuông góc với mp(P) nên có VTCP là VTPT của (P)
mp(P): x+2y+z+1=0

 VTPT mp(P):
Ptct của
Hay
Gọi H là hình chiếu của I trên (P){H}=()(P)
tọa độ H là nghiệm của hệ pt:
Ví dụ: Tìm tâm và bán kính của đường tròn:
GiẢI
Gọi mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 6x + 2y -4z +10 = 0
Có tâm I(3;-1;2), bán kính R = 2
Gọi  là đường thẳng qua I(3;-1;2)
và vuông góc với mp(P) nên có VTCP là VTPT của (P)
mp(P): x+2y+z+1=0  VTPT mp(P):
Ptct của
Hay
Gọi H là hình chiếu của I trên (P){H}=()(P)
tọa độ H là nghiệm của hệ pt:
Vậy: P)(S)=C(H;,r)
3. Luyện tập:
B1: Lập phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A(1;2;- 4), B(1;-3;1), C(2;2;3)
và có tâm nằm trên mặt phẳng Oxy
GiẢI
Tâm I của mặt cầu nằm trên mp(Oxy) I(a;b;0)
Gọi mặt cầu (S): x2 +y2 +z2 - 2ax – 2by + d = 0, a2 + b2 – d>0


A, B, C(S)
Tâm I(-2;1;0)
Bán kính:
Vậy (S): x2 + y2 + z2 + 4x - 2y – 21 = 0
Hay (S): (x+2)2 +(y-1)2 +z2 = 26
B2: Thiết lập phương trình tiếp diện của mặt cầu:
x2 + y2 + z2 - 6x – 2y +4z +5 =0 tại Mo(4;3;0)
3. Luyện tập:
Gọi (P) là mặt phẳng tiếp diện cần tìm:
Ta có mặt cầu (S) có:
Tâm I(3;1;-2), bán kính R = 3
GiẢI