Chương II. §2. Mặt cầu

HĐ1: Cho mặt cầu S(O;R) và (P ).Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (P) và d = OH. Hãy chứng tỏ rằng điểm M là điểm chung của mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P) khi và chỉ khi M thuộc (P) và HM2 = R2 – d2 .
2.Vị trí tương đối của một mặt cầu với một mặt phẳng
Giải
Ta có thể kết luận gì về giao của mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P) trong các trường hợp:
LIEN KET
*d < R
*d = R
*d > R
=>(S)  (P) = C(H;r) nằm trong (P), và
=> (S)  (P) = { H }
=>(S)  (P) = 
MẶT CẦU, KHỐI CẦU
P
.
O
.
.
H
Cho mặt cầu S(O;R) và mp(P), gọi d là khoảng cách từ O tới (P) và H là hình chiếu của O trên (P). Khi đó
.
M
r
Chú ý: Khi d = 0  O  (P), mặt phẳng đó được gọi là mặt phẳng kính và (S)(P) = C(O;R), C (O;R) gọi là đường tròn lớn của mặt cầu S(O;R)
R
2.Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
đ
Nếu d = R  (S)  (P) = { H }
(P) tiếp xúc với mặt cầu S(O;R) tại H,
H gọi là tiếp điểm của (P) và mặt cầu
(P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (S)
Nếu d >R  (S)  (P) = 
P
.
O
H
.
.
M
R
LIEN KET
MẶT CẦU, KHỐI CẦU
Mệnh đề sau đây có đúng không
Điều kiện cần và đủ để mp(P) tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) tại điểm H là mp(P) vuông góc với bán kính OH tại điểm H.
Mặt cầu đi qua mọi đỉnh của hình đa diện H gọi là mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện H và hình đa diện H gọi là nội tiếp mặt cầu đó .
Chứng minh rằng hình chóp nội tiếp một mặt cầu khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác nội tiếp một đường tròn .
Giải a)Các đỉnh của đa giác đáy hình chóp nằm trên mặt phẳng đáy của hình chóp và đồng thời nằm trên mặt cầu ngoại tiếp hình chóp nên chúng nằm trên đường tròn giao tuyến của mặt phẳng đáy và mặt cầu . Vậy đa giác đáy của hình chóp nội tiếp đường tròn đó
b)Nếu hình chóp có đáy là đa giác nội tiếp đường tròn ( C) thì ta gọi ∆ là trục của đường tròn đó và gọi O là giao điểm của ∆ với mặt phẳng trung trực của một cạnh bên , Chẳng hạn SA . Khi đó SO = OA = OB = OC .Vậy hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp, đó là mặt cầu tâm O bán kính R bằng SO.
Tại sao có thể nói:Hình tứ diện nào cũng có mặt cầu ngoại tiếp ?
Hình tư diện có thể xem là hình chóp mà đáy là tam giác, và vì tam giác luôn nội tiếp đường tròn nên tứ diện luôn nội tiếp mặt cầu .
Hình lăng trụ tam giác có cạnh bên không vuông góc với đáy có thể nội tiếp một mặt cầu không ? Vì sao ?
Nếu hình lăng trụ có cạnh bên không vuông góc với đáy thì nó phải có ít nhất một mặt bên là hình bình hành mà không phải là hình chữ nhật . Hình bình hành đó không nội tiếp đường tròn nên hình lăng trụ không nội tiếp mặt cầu .
MẶT CẦU, KHỐI CẦU
Nếu d < R thì ∆ cắt mặt cầu S tại 2 điểm phân biệt
Nếu d = R thì Δ và mặt cầu S(O; R) có một điểm chung duy nhất là H. Khi đó, ta nói đường thẳng Δ tiếp xúc với mặt cầu tại H, hoặc Δ là tiếp tuyến của mặt cầu (S) tại H, H gọi là tiếp điểm của ∆ và mặt cầu
Nếu d > R thì ∆ không cắt mặt cầu
∆
H
R
.
O
(C)
∆
H
R
.
O
(C)
P
P
P
3.Vị trí tương đối của một mặt cầu với một đường thẳng
LK
Cho mặt cầu S(O;R) và đường thẳng ∆. Gọi H là hình chiếu của O trên ∆ và d = OH là khoảng cách từ O đến ∆ .Tương tự như trường hợp mặt cầu và mặt phẳng, ta có
MẶT CẦU, KHỐI CẦU
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ?
a) Điều kiện cần và đủ để đường thẳng Δ tiếp xúc với mặt cầu S(O;R) tại điểm H là Δ vuông góc với bán kính OH tại điểm H.
b)Có vô số đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu S(O;R) tại điểm H, chúng nằm trên mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại H .
Đường thẳng đi qua điểm A nằm trong mặt cầu có tiếp xúc với mặt cầu hay không ?
Trong trường hợp điểm A nằm ngoài mặt cầu thì sao ?
MẶT CẦU, KHỐI CẦU
Cũng cố
Nội dung cần nắm :
*Vị trí tương đối của một mặt phẳng với một mặt cầu
Nếu d = R  (S)  (P) = { H }
(P) tiếp xúc với mặt cầu S(O;R) tại H,
H gọi là tiếp điểm của (P) và mặt cầu
(P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (S)
Nếu d >R  (S)  (P) = 
*Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Định lý (trang 43 SGK)
Dặn dò :
+Đọc bài trong SGK.
+Làm bài toán 2 (trang 42), chứng minh định lý (trang 43) dựa vào hoạt động 5 và 6 (SGK)
+Đọc trước phần diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
+Làm bài tập 4; 5; 6 SGK trang 45 .
MẶT CẦU, KHỐI CẦU