Chương II. §2. Mặt cầu

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó?
Vẽ hình
Phương pháp
Vì S.ABCD là tứ giác đều nên đáy là tam hình vuông cạnh bằng a. Theo giả thiết ta có: SA=SB=SC=SD=a.
AC=BD=AB = a
Suy ra các tam giác SAC và SBD vuông cân tậi S. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Ta có: OA = OB = OC = OD = OS =
Vậy mặt cầu đi qua 5 điểm S, A, B, C D có tâm O là tâm của hình vuông ABCD và có bán kính
Bài 3: Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn chứa một đường tròn cố định cho trước.
LG
Gọi (C) là đường tròn cố định cho trước.
Trên (C) lấy 3 điểm A, B, C.
S(O;R) qua (C) OA=OB=OC
O nằm trên trục d của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. d vuông góc mặt phẳng chứa đường tròn (C) tại tâm của (C).
(C)
d
Phần Thuận:

(C)
d
Phần đảo

Nếu lấy một điểm O’ bất kì trên d thì với mọi điểm M thuộc đường tròn C(I,R’) ta đều có:
không đổi.
Do đó (C) luôn luôn thuộc mặt cầu tâm O’ trên trục d.

Vậy tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn chứa một đường tròn cố định cho trước là đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn nói trên tại tâm của đường tròn đó.
Bài 5:
Từ một điểm M nằm ngoài mặt cầu S(O;R) ta kẻ hai đường thẳng cắt mặt cầu lần lượt tại A, B và C, D.
Chứng minh rằng MA.MB = MC.MD.
Gọi MO=d. Tính MA.MB theo d và R.

LG
Vì hai đường thẳng AB và CD cắt nhau nên xác định mp(P).
(P) cắt S(O;R) theo giao tuyến là một đường tròn đi qua 4 điểm A, B, C, D. Trong (P):
Suy ra: MA.MB=MC.MD
Trong (P):
Kẻ đường kính BE.
MA.MB = MB.(ME+EA) = MB.ME + MB.EA = MB.ME
= (MO+OB)(MO+OE) = (MO+OB)(MO-OB)
b) (OAB) cắt mặt cầu theo đường tròn lớn tâm O bán kính R.
Trong (OAB): MA.MB=
Với d=MO, R là bán kính của mặt cầu.
Tương tự ta có:
MC.MD
Vậy MA.MB = MC.MD