Chương II. §2. Mặt cầu

§2. VÞ trÝ t­¬ng ®èi cña mét mÆt cÇu víi mÆt ph¼ng vµ ®­êng th¼ng
1. VÞ trÝ t­¬ng ®èi cña mét mÆt cÇu vµ mét mÆt ph¼ng
2. VÞ trÝ t­¬ng ®èi cña mét mÆt cÇu vµ mét ®­êng th¼ng
3. C¸c tÝnh chÊt cña tiÕp tuyÕn
1. VÞ trÝ t­¬ng ®èi cña mét mÆt cÇu vµ mét mÆt ph¼ng
Cho S(0,R)
Gọi H là hình chiếu của O lên (P)
và d=0H là khoảng cách từ O tới(P)
và mp (P).
* Trường hợp 1: d> R
? M ? (P): 0M ? 0H = d >R
? S(0;R) ? (P) = ?
* Trường hợp 2: d = R
Khi đó H ? S(0;R):
Thì 0M ? 0H = R
? S(0;R) ? (P) = ?H?
* Chó ý: d = 0 th× (S)  (P) = C(0;R) lµ ®­êng trßn lín cña S(0;R)
Lấy M ? S(0;R) ? (P)
MH2 =R2 - d2
*Trường hợp 3: d < R


0M = R
M  (P)

M (P)
M C(H; r)
? S(0; r) ? (P) = C(H;r)

M (P)
Ví dụ: Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (?) với mặt cầu S(0;R) biết R=11& khoảng cách từ 0 đến ? là d= 9
2. Vị trí tương đối của một mặt cầu và một đường thẳng
Cho S(0;R) và đường thẳng ? bất kỳ
+ NÕu   0 th×   S(0;R) = A,B víi AB lµ ®­êng kÝnh
? ? ? S(0;R) = ? ? C(0;R)
Gọi 0H = d là khoảng cách từ 0 tới ?, ta có :
* Trường hợp 3: d < R
* Trường hợp 1: d > R
? ? ? C(0;R) = ?
? ? ? S(0;R) = ?
* Trường hợp 2: d = R
? ? ? C(0;R) = ?H?
? ? ? S(0;R) = ?H?
Ta nói ? tiếp xúc với S(0;R) tại H. H là tiếp điểm của ? và S(0;R)? là tiếp tuyến của S(0;R)
? ? C(0;R) = ?A;B?
? ? ? S(0;R) = ?A;B?
P
H

0
R
(c)
0

(c)
H
0
(c)
A
B

H
Bài tập
Qua ba điểm phân biệt trên mặt cầu có một và chỉ một đường tròn
Giải:
Ba điểm A, B, C phân biệt trên mặt cầu không thể thẳng hàng
Qua A,B, C xác định duy nhất một mặt phẳng ( ABC)
Mp(ABC) có nhiều hơn một điểm chung với mặt cầu nên nó cắt mặt cầu theo một đường tròn ngoại tiếp ABC
Bài 3 ( tr )
Có bao nhiêu mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh một tam giác? Tìm quỹ tích tâm các mặt cầu đó.
Giải: Giả sử S(O;R) tiếp xúc với BC, CA, AB của ? ABC tại A`, B,` C`
Gọi I là hình chiếu của O lên mp(ABC) ? IA`?? BC, IB`?? AC, IC`?? AB.
? O??trục của ( C)
? OA`?? BC, OB`?? AC, OC`?? AB,
Mà OA` = OB` = OC` nên IA`= IB` = IC` . Vậy I là tâm đường tròn ( C ) nội tiếp ? ABC
Phần đảo (dễ dàng chứng minh được)
(S) ∩(P) = Ø
(S) ∩(P) = { H }
(S) ∩(P) = (C)
d > R d = R d < R
( S) ∩  = Ø ( S ) ∩  = { H } ( S ) ∩  = { A, B}
Bài tập về nhà:
Hoàn thành nốt các bài tập đã chữa trên lớp.
Làm bài 1, bài 2, bài 4 SGK