Chương II. §2. Mặt cầu

HÌNH HỌC 12
BÀI 10 :
Trong không gian Oxyz cho mặt cầu S(I ; R) có tâm I(a ; b ; c) và bán kính R.
M(x ; y ; z)  S(I ; R)
 IM = R
Phương trình trên được gọi là phương trình của mặt cầu S(I ; R)
 (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2
1) Nhu v?y, n?u bi?t to? d? t�m v� b�n kính m?t c?u thì ta cĩ th? d? d�ng vi?t du?c phuong trình c?a m?t c?u n�y.
2) N?u t�m I c?a m?t c?u (S) l� g?c t?a d? O(0 ; 0 ; 0) thì phuong trình m?t c?u l�: x2 + y2 + z2 = R2.
 Chú ý :
Ngược lại, xét phương trình :
Có thể viết lại phương trình (2) dưới dạng :
Vì a2 + b2 + c2 – d > 0. đặt : a2 + b2 + c2 – d = R2
Ta đưa phương trình (2) về dạng :
x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (2)
Với a2 + b2 + c2 – d > 0
(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 – a2 – b2 – c2 + d = 0
 (x –a)2 + (y –b)2 + (z –c)2 = a2 + b2 + c2 – d
(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2
Phương trình của mặt cầu (S) có tâm I(a ; b ; c), bán kính là :
(S) : x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0
Phương trình mặt cầu trong không gian có các đặc điểm sau :
_ L� phuong trình b?c hai d?i v?i x, y, z.
? Ch� � :
_ C�c h? s? c?a x2, y2, z2 d?u b?ng nhau v� kh�c 0.
_ Khơng cĩ c�c s? h?ng ch?a c�c tích xy, yz, zx.
(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c) 2 = R2
I. Phuong trình m?t c?u
? T�m I(a ; b ; c)
? B�n kính R
? B�n kính R
? T�m I(a ; b ; c)
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
B�i 1
? B�i gi?i :
Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau :
a) (S) : x2 + y2 + z2 – 8x + 2y + 1 = 0
b) (S) : x2 + y2 + z2 + 4x + 8y – 2z – 4 = 0
c) (S) : 3x2 + 3y2 + 3z2 + 6x – 3y + 15z – 2 = 0
Bài 2
? B�i gi?i :
Lập phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm :
A(1 ; 2 ; –4), B(1 ; –3 ; 1), C(2 ; 2 ; 3)
và có tâm nằm trên mặt phẳng Oxy.
Tâm I(a ; b ; c)  mp(Oxy) nên c = 0.
Phương trình (S) : x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by + d = 0
A(1 ; 2 ; –4)  (S) : 1 + 4 + 16 – 2a – 4b + d = 0
B(1 ; –3 ; 1)  (S) : 1 + 9 + 1 – 2a + 6b + d = 0
C(2 ; 2 ; 3)  (S) : 4 + 4 + 9 – 4a – 4b + d = 0
Vậy (S) : x2 + y2 + z2 + 4x – 2y – 21 = 0
B�i 2
? C�ch 2 :
Lập phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm :
A(1 ; 2 ; –4), B(1 ; –3 ; 1), C(2 ; 2 ; 3)
và có tâm nằm trên mặt phẳng Oxy.
Tâm I(a ; b ; c)  mp(Oxy) nên c = 0  I(a ; b ; 0)
A, B, C  (S) nên AI = BI = CI
Vậy (S) : (x + 2)2 + (y – 1)2 + z2 = 26
 I(– 2 ; 1 ; 0)
Bài 2
? Bài giải :
Lập phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm :
A(1 ; 2 ; -4), B(1 ; -3 ; 1), C(2 ; 2 ; 3)
và có tâm nằm trên mặt phẳng Oxy.
Tâm I(a ; b ; c) ? mp(Oxy) nên c = 0.
Phương trình (S) : x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by + d = 0
A(1 ; 2 ; -4) ? (S) : 1 + 4 + 16 - 2a - 4b + d = 0
B(1 ; -3 ; 1) ? (S) : 1 + 9 + 1 - 2a + 6b + d = 0
C(2 ; 2 ; 3) ? (S) : 4 + 4 + 9 - 4a - 4b + d = 0
Vậy (S) : x2 + y2 + z2 + 4x - 2y - 21 = 0
B�i 2
 Bài giải :
Lập phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm :
A(1 ; 2 ; –4), B(1 ; –3 ; 1), C(2 ; 2 ; 3)
và có tâm nằm trên mặt phẳng Oxy.
Vậy (S) : x2 + y2 + z2 + 4x – 2y – 21 = 0
(S) : (x + 2)2 + (y – 1)2 + z2 = 26
(S) : x2 + 4x + 4 + y2 – 2y + 1 + z2 = 26
(S) : x2 + y2 + z2 + 4x – 2y + 5 – 26 = 0
B�i 3
 Bài giải :
Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I(3 ;–2 ; 1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) có phương trình : 2x – 2y – z + 9 = 0.
Bán kính R của mặt cầu (S) chính là khoảng cách từ tâm I của mặt cầu tới mặt phẳng (P).
Phương trình (S) : (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2
Vậy (S) : (x – 3)2 + (y + 2)2 + (z – 1)2 = 36
Nếu d(I , (P)) = R : mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu tại điểm H và mp(P) được gọi là tiếp diện của mặt cầu.
Nếu d(I , (P)) > R : mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu.
II. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
B�i 4
 Bài giải :
Tìm tâm và bán kính các đường tròn sau :
Đường tròn (C) = (S)  ()
Tâm của (C) là H, H là hình chiếu vuông góc của I lên ()
Thay x, y, z vào phương trình mp() , ta có :
 H(3 ; –1 ; 1)  I
 Bán kính : Rc = R(S) = 1
(3 + t) + 2(– 1 + 2t) – 2(1 – 2t) + 1 = 0  t = 0
B�i 5
 Bài giải :
Thiết lập phương trình tiếp diện của mặt cầu :
x2 + y2 + z2 – 6x – 2y + 4z + 5 = 0
tại điểm M(4 ; 3 ; 0)
M(4 ; 3 ; 0) : 16 + 9 – 24 – 6 + 5 = 0  M(4 ; 3 ; 0) (S)
 mp() : x + 2y + 2z + D = 0
M(4 ; 3 ; 0) () : 4 + 6 + 0 + D = 0  D = –10
Vậy mp() : x + 2y + 2z –10 = 0
B�i 6
 Bài giải :
Ta có: d(I , (P)) < R
a) (S) : x2 + y2 + z2 – 6x – 2y + 4z + 5 = 0
() : x + 2y + z – 1 = 0
Xét vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng trong các trường hợp sau :
Vậy mặt phẳng cắt mặt cầu.
Bài 6
 Bài giải :
 Mặt phẳng () qua tâm I của mặt cầu.
b) (S) : x2 + y2 + z2 – 6x + 2y – 2z + 10 = 0
() : x + 2y – 2z + 1 = 0
Xét vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng trong các trường hợp sau :
B�i 6
 Bài giải :
Ta có : d(I , (P)) > R
c) (S) : x2 + y2 + z2 + 4x + 8y – 2z – 4 = 0
() : x + y – z – 10 = 0
Xét vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng trong các trường hợp sau :
Vậy mặt phẳng không cắt mặt cầu.
_ Làm hoàn chỉnh các bài tập trong đề cương.
_ Chuẩn bị ôn tập chương II