Chương II. §2. Mặt cầu

MẶT CẦU
§1
CABRI
Cho mặt cầu S(O ; R) và một điểm A:

a) Nếu OA = R thì điểm A thuộc mặt cầu.
b) Nếu OA < R thì điểm A nằm trong mặt cầu.
c) Nếu OA > R thì điểm A nằm ngoài mặt cầu
d) Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O ; R) và nằm trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu S(O ; R), hoặc hình cầu S(O ; R).
Khối cầu S(O ; R) = {M  OM =R}.
1. Định nghĩa:
Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng cách R cho trước gọi là mặt cầu có tâm là O và bán kính bằng R.
Kí hiệu là S(O ; R) ={M  OM = R}
CABRI
2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
?1. Mệnh đề sau có đúng không: Điều kiện cần và đủ để mp (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O;R) tại điểm H là mp(P) vuông góc với bán kính OH tại điểm H?
Trả lời: Đúng
Bài toán 1. Mặt cầu đi qua mọi đỉnh của một hình đa diện H gọi là mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện H, và hình đa diện H gọi là nội tiếp mặt cầu đó.
Chứng minh rằng hình chóp nội tiếp mặt cầu khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác nội tiếp đường tròn.
Chứng minh:
(=>) Hình chóp nội tiếp mặt cầu thì các đỉnh của đáy của nó nằm trên giao tuyến của mặt cầu với mp đáy nên nó nội tiếp đường tròn.
(<=) Đáy hình chóp nội tiếp đường tròn: Gọi d là trục của đường tròn ngoại tiếp đáy hình chóp. Mặt phẳng trung trực của một cạnh bên cắt d tại điểm O cách đều tất cả các đỉnh hình chóp - đó là tâm cầu ngoại tiếp hình chóp.
Cách xác định tâm cầu ngoại tiếp hình chóp:
Dựng trục d của đường tròn ngoại tiếp đáy.
Nếu d đồng phẳng với một cạnh bên hình chóp thì dựng trung trực của cạch bên đó cắt d tại O – đó là tâm cầu.
- Nếu d không đồng phẳng với cạnh bên nào của hình chóp thì dựng trục d’ của một mặt bên và xác định giao điểm của d’ với d – đó là tâm cầu.
CABRI
Trả lời:
Vì hình tứ diện bất kì là một hình chóp tam giác có đáy luôn nội tiếp một đường tròn.
Trả lời:
Hình lăng trụ tam giác có cạnh bên không vuông góc với đáy không thể nội tiếp mặt cầu vì hình lăng trụ đó có mặt bên là hình bình hành không phải là hình chữ nhật, không nội tiếp được trong đường tròn.
?2. Tại sao có thể nói rằng một hình tứ diện bất kì luôn nội tiếp một mặt cầu?
?3. Hình lăng trụ tam giác có cạnh bên không vuông góc với đáy có thể nội tiếp mặt cầu không ? Vì sao ?
3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
CABRI
Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng . Gọi d là khoảng cách từ tâm O tới . Khi đó :
 Nếu d > R thì  không cắt mặt cầu.
 Nếu d = R thì  cắt mặt cầu tại điểm H duy nhất.
 Nếu d < R thì  cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt.
?4. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ?
1) Điều kiện cần và đủ để đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) tại điểm H là  vuông góc với bán kính OH tại điểm H.
2) Có vô số đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) tại điểm H, chúng nằm trên mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại H.
Bài toán 2. Hãy chứng minh rằng có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của một tứ diện đều ABCD cho trước.
CABRI
Hướng dẫn: Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD ; O là trọng tâm tứ diện thì O là trung điểm của MN, chứng minh O cách đều các cạnh hình tứ diện.
Định lí
Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; R) thì :
Qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu.
Độ dài các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau.
Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu.
CABRI
Hoạt động 6 (để chứng minh định lí)

Lấy một mặt phẳng bất kì đi qua AO, nó cắt mặt cầu S(O; R) theo một đường tròn và AH là một tiếp tuyến của đường tròn đó tại H. Chứng minh rằng AH cũng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm H.

b) Tính độ dài AH theo R và d = OA.

c) Kẻ HI  OA rồi chứng minh rằng I là điểm cố định không phụ thuộc vào tiếp tuyến AH. Từ đó suy ra kết luận c).
Mặt cầu bán kính R có diện tích là :
4. Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
CABRI
Khối cầu bán kính R có thể tích là:
Bài tập về mặt cầu
Bài 1
CABRI
Bài 2a
CABRI
Bài 2b,c
CABRI
Bài 2d
CABRI
CABRI
Bài 3
CABRI
Bài 4
Bài 5
CABRI
CABRI
Bài 6a
CABRI
Bài 6b
CABRI
Bài 7a
CABRI
Bài 7b
Bài 8a
CABRI
Bài 8b
CABRI
CABRI
Bài 9
CABRI
Bài 10