Chương II. §2. Mặt cầu

Bài 2: MẶT CẦU
Thành viên nhóm :
Trần Thị Kim Loan.
Huỳnh Kim Quyên.
Huỳnh Thị Thu Hương.
Đoàn Thị Ri A.
Nguyễn Thanh Phương.
Nguyễn Thanh Siêm.
I. MẶT CẦU VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN ĐẾN MẶT CẦU
1. Mặt cầu
Tập hợp những điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi bằng r ( r>0) được gọi là mặt cầu tâm O bán kính r.
Bài 2: MẶT CẦU
Ký hiệu: S (O;r)
Nếu hai điểm C, D nằm trên mặt cầu S(O;r) thì đoạn thẳng CD được gọi là dây cung của mặt cầu đó.
Dây cung AB đi qua tâm O được gọi là một đường kính của mặt cầu. Khi đó độ dài của đường kính bằng 2r
-Nếu OA = r thì điểm A nằm trên mặt cầu
S( O;r).
-Nếu OA < r thì điểm A nằm trong mặt cầu S( O;r).
-Nếu OA > r thì điểm A nằm ngoài mặt cầu S( O;r).
2. Điểm nằm trong và nằm ngoài mặt cầu. Khối cầu
3. Biểu diễn mặt cầu.
4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu
II. GIAO CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG :
Cho mặt cầu S(O; r) và mặt phẳng (P), gọi h là khoảng cách từ O tới (P) và H là hình chiếu của O trên (P).
2
4
1
3
3. Nếu h > r thì mp(P) không có điểm chung với mặt cầu S(O; r).
2. Nếu h = r thì mp(P) tiếp xúc với mặt cầu S(O; r) tại một điểm H. H là tiếp điểm, (P) là mp tiếp xúc hay tiếp diện
Điều kiện cần và đủ để (P) tiếp xúc với mc S(O; r) tại điểm H là (P) vuông góc với bán kính OH tại điểm H đó.
Nếu h < r thì mp(P) cắt mặt cầu S(O; r) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên mặt phẳng (P) có tâm là H
và bán kính là
Tóm lại:
Cho mặt cầu S(O; r) và mặt phẳng (P), gọi h là khoảng cách từ O tới (P) và H là hình chiếu của O trên (P). Khi đó có 3 trường hợp:
Nếu h > r thì mp(P) không có điểm chung với mặt cầu S(O; r).
Nếu h = r thì mp(P) tiếp xúc với mặt cầu tại một điểm duy nhất H.
Nếu h < r thì mp(P) cắt mặt cầu S(O; r) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên mặt phẳng (P) có tâm là H
và bán kính là
Hoạt động:
Hãy xác định đường tròn giao tuyến của mặt cầu S(O;r) và mặt phẳng biết rằng khoảng cách từ tâm O đến
bằng .
b) Cho mặt cầu S(O; r), hai mặt phẳng và có khoảng cách đến tâm O của mặt cầu đã cho lần lượt là a và b . Hãy so sánh hai bán kính của các đường tròn giao tuyến.
Đường tròn và đường thẳng có mấy vị trí tương đối?
Vậy mặt cầu và đường thẳng có mấy vị trí tương đối?
III. Vị trí tương đối của mặt cầu và đường thẳng. Tiếp tuyến của mặt cầu:
Cho mặt cầu S(O;R) và đường thẳng a.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm O trên a và OH là khoảng cách từ O tới a
Ta có 3 trường hợp sau đây:
Trường hợp 1:
Vì sao?
Khi đó a gọi là tiếp tuyến của S(O;R), H gọi là tiếp điểm.
H là duy nhất.
Trường hợp 2:
Điều kiện cần và đủ để đường thẳng a tiếp xúc với S(O;R) tại H là a vuông góc với bán kính OH tại H
có bao nhiêu tiếp tuyến của S(O;R)?
có vô số tiếp tuyến của S(O;R).
Các tt đều nằm trên mp tiếp xúc của S(O;R) tại A
Tại H
Khi d = 0 thì a qua tâm O thì AB là đường kính của S(O;R)
Trường hợp 3:
Qua điểm A nằm ngoài mc S(O;R) có bao nhiêu tiếp tuyến với nó?
Qua 1 điểm nằm ngoài S(O;R) có vô số tiếp tuyến với no.
Các tt này tạo thành một mặt nón đỉnh A
NHẬN XÉT:
Cách vẽ tiếp tuyến từ điểm A nằm ngoài S(O;R) :
Nối OA
Dựng mc S’(I;IA) với I là trung điểm OA
Dựng giao tuyến (C) của 2 mc
Vậy (C) là tập hợp những tiếp điểm của tt qua A với S(O;R)
Chú ý:
Mặt cầu nội tiếp đa diện nếu mc đó tiếp xúc với tất cả các mặt của hình đa diện,
Còn mặt cầu ngoại tiếp đa diện nếu tất cả các đỉnh của đa diện nó đều nằm trên mc.
Ví dụ: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu khi:
a) Đi qua 8 đỉnh của hình lập phương
b) Tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương
c) Tiếp xúc với 6 mặt của hình lập phương
HD: Gọi O là tâm của ABCD.A’B’C’D’ thì O cách đều các đỉnh, các cạnh và các mặt của nó
Mc S1 đi qua 8 đỉnh của hình lập phương có tâm O và
bán kính R1 =
?
b) Mc S2 tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương có
tâm O và bán kính R2 =
?
R2
c) Mc S3 tiếp xúc với 6 mặt cầu hình lập phương có tâm
O và bán kính R3 =
R3
?
Xin chân thành cảm ơn các bạn
đã theo dõi!