Chương II. §2. Mặt cầu

§2. mÆt cÇu
Tiết 17
I. Mặt cầu và các khái niệm liên quan đến mặt cầu
Hãy nêu các định nghĩa về đường tròn trong mặt phẳng, dây cung của đường tròn, bán kính của đường tròn?
ĐN : Tập hợp những điểm M trong mặt phẳng cách điểm O cố định một khoảng không đổi bằng r (r > 0) được gọi là đường tròn tâm O bán kính r
1. Mặt cầu
Kí hiệu : S(O;r) = { M | OM = r }
ĐN : Tập hợp những điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi bằng r (r > 0) được gọi là mặt cầu tâm O bán kính r
Dây cung CD
Đường kính AB
Nhận xét : Một mặt cầu được xác định nếu biết tâm và bán kính của nó hoặc biết đường kính của mặt cầu đó
Nếu OA = R thì điểm A thuộc mặt cầu. Khi đó OA là bán kính mặt cầu.
Nếu OA < R thì điểm A nằm trong mặt cầu.
Nếu OA > R thì điểm A nằm ngoài mặt cầu.
Cho mặt cầu S(O ; R) và A là điểm bất kì trong không gian.
Giữa điểm A và mặt cầu có mấy vị trí tương đối xảy ra ?
2. Điểm nằm trong và ngoài mặt cầu. Khối cầu
ĐN : Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O; r) cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu hoặc hình cầu tâm O bán kính r
C)T?p h?p cỏc di?m thu?c m?t c?u S(O;R) cựng v?i cỏc di?m n?m trong m?t c?u g?i l� kh?i c?u S(O;R) ho?c hỡnh c?u S(O;R)
O.
o
(Nói cách khác, khối cầu S(O ; R) là tập hợp các điểm M sao cho OM ≤ R).
O.
3. Biểu diễn mặt cầu
A
m
b
i
Ví dụ
Vớ d? 1: Cho hai di?m A v� B c? d?nh . Ch?ng minh r?ng t?p h?p cỏc di?m M sao cho MA.MB 0 l� m?t c?u du?ng kớnh AB
Giải
Gọi I là trung điểm của AB, ta có:





Vậy tập hợp các điểm M là mặt cầu
tâm I bán kính R = IA, tức mặt cầu đường kính AB.
I.
Ví dụ 2:
Cho tam giác ABC vuông tại B, DA (ABC),bi?t
AB = 3a, BC = 4a, AD = 5a
Ch?ng minh r?ng bốn điểm A, B, C, D c�ng n?m tr�n m?t m?t c?u.
X�c d?nh t�m v� b�n kính c?a m?t c?u dĩ
D
A
B
C
Giải:
a/ Ta có:
DA (ABC)
DA BC
Lại có: AB BC
nên BC DB.
Suy ra: DAC = DBC = 90, g?i O l� trung di?m CD thì
OA = OB = OC = OD
Vậy A,B,C,D nằm trên mặt cầu tâm O là trung điểm DC B�n kính b?ng
I
R = OA = OB = OC = OD mà


Vậy:
4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu
Ví dụ 3:
Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a.Tìm tập hợp
các điểm M trong không gian sao cho:
MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 2a2
Giải
* Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD, ta có: MA2 + MB2 + MC2 + MD2 =




Vì G là trọng tâm của tứ diện đều ABCD nên:

và cạnh của tứ diện bằng a nên GA = GB = GC = GD =

Vậy ta có: MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 4MG2 +

* Do đó: MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 2a2 MG =

* Vậy: Tập hợp các điểm M là
mặt cầu tâm G, bán kính R =
Cho tứ diện đều ABCD, H là hình chiếu của A lên mp(BCD)
thì H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD do BCD
là tam giác đều nên H cũng là trọng tâm của tam giác BCD.
Trọng tâm G của tứ diện ABCD thuộc đoạn AH và AG
(Xem lại ví dụ 2, trang 25, 26. sgk)
CÁCH TÍNH: AG
Nội dung chính của bài học
1. Định nghĩa mặt cầu, khối cầu.
2.Các thuật ngữ
(Các khái niệm có liên quan đến
mặt cầu: Tâm, bán kính, đường
kính, điểm nằm trong, nằm ngoài
mặt cầu).
3. Các ví dụ.
( Ví dụ 1, 2, 3 )
Hoạt động 1.
Tìm tập hợp tâm các mặt
cầu luôn đi qua 2 điểmcố
định A và B cho trước.
Giải.
Gọi O là tâm mặt cầu,ta
Có OA = OB. Vậy tập
Hợp các điểm O cần tìm
là mặt phẳng trung trực
của AB
Trong không gian, tập hợp các điểm O cách đều hai điểm
A, B cho trước chính là mặt phẳng trung trực của đoạn AB.
Nội dung chính của bài học
1. Định nghĩa mặt cầu, khối cầu.
2.Các thuật ngữ
(Các khái niệm có liên quan đến
mặt cầu: Tâm, bán kính, đường
kính, điểm nằm trong, nằm ngoài
mặt cầu).
3. Các ví dụ.
( Ví dụ 1, 2, 3 )
Hoạt động 2.
Tìm tập hợp tất cả các điểm
M trong không gian luôn luôn
nhìn đoạn thẳng AB cố định
Dưới một góc vuông
Giải.
Nếu M ≠ A và M ≠ B thì góc
AMB = 1v theo
VD1, tập hợp các điểm M cần
tìm là mặt cầu đường kính
AB ( M A, hoặc M B,
kq vẫn đúng )
TR?C NGHI?M
Cho tứ diện đều ABD cạnh bằng a. Tập hợp
các điểm M trong không gian sao cho:
MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 2a2 là:
Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tam giác ABC
và bán kính bằng
(B) Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tứ diện
và bán kính bằng
(C) Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tứ diện
và bán kính bằng
(D) Đường tròn có tâm là trọng tâm của tam giác ABC
và bán kính bằng
Bài tập: Trong mặt phẳng (P) cho hình chữ nhật ABCD, trên đường thẳng (d) vuông góc mp’(ABCD) tại A lấy điểm S khác A.
1) Cho AB = a, BC = , SA = a. Xác định mặt cầu đi qua 4 điểm S, A, B, C, Tính bán kính của mặt cầu này.
2) Gọi E, F, H lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SC, SD. Chứng minh 7 điểm A, B, C, D, E, F, H cùng nằm trên một mặt cầu. Chứng tỏ rằng khi S thay đổi trên đường thẳng (d) thì mặt cầu này cố định
Xin chân thành cảm ơn !
Chúc các em học sinh thành công trong học tập