Chương II. §2. Mặt cầu

NHI?T LI?T CH�O M?NG
C�C EM H?C SINH
Kiến thức cũ




. c
. A


. A


. B
Khái niệm đường tròn trong mặt phẳng?
Vị trí tương đối của đường tròn với một điểm trong mặt phẳng?
. A
. C
. B
. A
. A
. c
. B
Đường tròn là tập hợp tất cả những điểm trong mặt phẳng cách đều một điểm O cố định cho trước một khoảng không đổi.
M là một điểm trên đường tròn khi đó OM gọi là bán kính của đường tròn (bằng r).
.
M
r
O
.
M
r
O
Cho M là một điểm trong mặt phẳng. Khi đó giữa M và đường tròn có 3 vị trí tương đối xảy ra :
Nếu OM = r thì M nằm trên đường tròn.
Nếu OM > r thì M nằm ngoài đường tròn.
Nếu OM < r thì M nằm trong đường tròn.
M2
M1
Bài 2
MẶT CẦU
Chúng ta quan sát một số hình ảnh sau :
Hình ảnh trái đất
Hình ảnh mặt trăng
Hình ảnh trái bóng
BàI 2: mặt cầu
1.Dịnh nghĩa:
* Tập hợp tất cả nh?ng điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi bằng r ( r > 0 ) được gọi là mặt cầu tâm O bán kính r.
I/ M?T C?U V� C�C KH�I NI?M LI�N QUAN D?N M?T C?U
KÝ hiÖu:
S(O ; r ) = {M / OM = r}
O.
m
m
Dây cung AB đi qua tâm O được gọi là đường kính của mặt cầu.
.
A
B
o
Một mặt cầu được hoàn toàn xác định nếu biết tâm và bán kính hoặc biết một đường kính.
b) Chú ý :
C
D
Hai điểm C, D thuộc S(O ;r) thì CD được gọi là dây cung của mặt cầu.
Nếu OA = r thì điểm A thuộc mặt cầu. Khi đó OA là bán kính mặt cầu.
Nếu OA < r thì điểm A nằm trong mặt cầu.
Nếu OA > r thì điểm A nằm ngoài mặt cầu.
Cho mặt cầu S(O ; r) và A là điểm bất kì trong không gian.
Giữa điểm A và mặt cầu có mấy vị trí tương đối xảy ra ?
C)T?p h?p cỏc di?m thu?c m?t c?u S(O;r) cựng v?i cỏc di?m n?m trong m?t c?u g?i l� kh?i c?u S(O;r) ho?c hỡnh c?u S(O;r)
O.
o
(Nói cách khác, khối cầu S(O ; r) là tập hợp các điểm M sao cho OM ≤ r).
Khi biểu diễn mặt cầu bằng phép chiếu vuông góc thì hình biểu diễn của mặt cầu là một đường tròn.
Khi biểu diễn mặt cầu bằng phép chiếu song song thì trong trường hợp tổng quát, hình biểu diễn của mặt cầu là một hình elip.
Kinh tuyến
Vĩ tuyến
A
B
Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu.
Mỗi nửa mặt phẳng có bờ AB cắt mặt cầu theo một nửa đường tròn đường kính AB gọi là kinh tuyến
Mỗi mặt phẳng vuông góc với AB nếu cắt mặt cầu theo một đường tròn thì đường tròn đó gọi là vĩ tuyến
Nội dung chính của bài học
1. Định nghĩa mặt cầu, khối cầu.
2.Các thuật ngữ
(Các khái niệm có liên quan đến
mặt cầu: Tâm, bán kính, đường
kính, điểm nằm trong, nằm ngoài
mặt cầu).
3. Các ví dụ.
( Ví dụ 1, 2 )
Hoạt động 1.
Tìm tập hợp tâm các mặt
cầu luôn đi qua 2 điểmcố
định A và B cho trước.
Giải.
Gọi O là tâm mặt cầu,ta
Có OA = OB. Vậy tập
Hợp các điểm O cần tìm
là mặt phẳng trung trực
của AB
Trong không gian, tập hợp các điểm O cách đều hai điểm
A, B cho trước chính là mặt phẳng trung trực của đoạn AB.
A
m
b
i
5/ các ví dụ :
Vớ d? 1: Tỡm t?p h?p t?t c? cỏc di?m M trong khụng gian luụn nhỡn do?n th?ng AB c? d?nh m?t gúc vuụng.
Giải
Gọi I là trung điểm của AB, ta có:

MI = IA = IB ( tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)

Vậy tập hợp các điểm M là mặt cầu
tâm I bán kính R = IA, tức mặt cầu đường kính AB.
I.
I.
Ví dụ 2:
Cho tam giác ABC vuông tại B, DA (ABC),bi?t
AB = 3a, BC = 4a, AD = 5a
Ch?ng minh r?ng bốn điểm A, B, C, D c�ng n?m tr�n m?t m?t c?u . X�c d?nh t�m v� b�n kính c?a m?t c?u dĩ
D
A
B
C
Giải:
a/ Ta có:
DA (ABC)
DA BC
Lại có: AB BC
nên BC DB.
Suy ra: DAC = DBC = 90, g?i O l� trung di?m CD thì
OA = OB = OC = OD
Vậy A,B,C,D nằm trên mặt cầu tâm O là trung điểm DC B�n kính b?ng
I
R = OA = OB = OC = OD mà


Vậy:
Ví dụ 2:
Cho tam giác ABC vuông tại B, DA (ABC),bi?t
AB = 3a, BC = 4a, AD = 5a
Ch?ng minh r?ng bốn điểm A, B, C, D c�ng n?m tr�n m?t m?t c?u . X�c d?nh t�m v� b�n kính c?a m?t c?u dĩ
Giải:
P
O 
M
r
H
Cho mặt cầu S( O ; r ) và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu của O lên (P). Khi đó h = OH = d( O ; (P) )
h
II. GIAO CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG
Nếu h > r thì mặt phẳng (P) và mc (S) không có điểm chung.
Ta viết : (P) ∩ (S) = Φ
Nếu h = r thì mặt phẳng (P) và mc (S) có một điểm chung.
Ta viết : (P) ∩ (S) = {H}
Nếu h < r thì mặt phẳng (P) cắt mc (S) theo đường tròn tâm H bán kính r’.
Ta viết : (P) ∩ (S) = C(H ; r’)
với
P
H
M
P
H
O
r
Đường tròn lớn
2
Hãy xác định đường tròn giao tuyến của mặt cầu S(O ; r) và mặt phẳng (P) biết rằng khoảng cách từ tâm O đến (P) một nửa bán kính mặt cầu.
r
O
M
H
Gọi H là hình chiếu của O lên (P) nên H là tâm đường tròn giao tuyến và
OH =
Giải
Ta có bán kính đường tròn giao tuyến là:
- Vị trí tương đối của đường tròn và đường thẳng ?
H
H
H
A
B
d>R: Đường thẳng không cắt đường tròn
d=R: Đường thẳng tiếp xúc đường tròn
dO
- Các phương pháp chứng minh đường thẳng d tiếp xúc đường tròn (O;R) ?
C1: CM d và (O) có điểm chung duy nhất
C2: CM khoảng cách từ O đến d bằng R
C3: CM d vuông góc với bán kính OH tại H
- Nêu các tính chất của tiếp tuyến đường tròn ?
Qua điểm A nằm trên đường tròn có duy nhất một tiếp tuyến với đường tròn.
Qua điểm A nằm ngoài đường tròn có hai tiếp tuyến đến đường tròn và độ dài các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm bằng nhau
A
O
A
T1
T2
- Nêu các tính chất của tiếp tuyến đường tròn ?
III. Giao của mặt cầu với đường thẳng. Tiếp tuyến của mặt cầu.
Cho mặt cầu S(O ; r) và đường thẳng Δ. Gọi H là hình chiếu của O trên Δ và d = OH là khoảng cách từ O tới Δ.
Nếu d > r thì Δ không cắt mặt cầu S(O ; r)
Nếu d = r thì Δ tiếp xúc mặt cầu S(O ; r) tại H
+ H đgl tiếp điểm
+ Δ đgl tiếp tuyến của mặt cầu.
Nếu d < r thì Δ cắt mặt cầu S(O ; r) tại hai điểm M và N phân biệt.
@ Khi d = 0 thì Δ đi qua tâm O và cắt (S) tại hai điểm A, B . Khi đó AB là đường kính.
Δ
O
d
Δ
H
H
r
Δ
M
N
d
Δ
A
B
Các cách chứng minh đường thẳng tiếp xúc mặt cầu ?
C1: CM Δ và (S) có điểm chung duy nhất
C2: CM khoảng cách từ O đến Δ bằng R
C3: CM Δ vuông góc với bán kính OH tại H
1
2
3
Qua điểm A nằm trên mặt cầu S(0;R) có vô số tiếp tuyến của mặt cầu (S). Tất cả các tiếp tuyến này đều nằm trên tiếp diện của (S) tại điểm A.
? Qua điểm A trên mặt cầu có bao nhiêu
tiếp tuyến với mặt cầu ?
Nhận xét:
? Qua điểm A nằm ngoài mặt cầu có bao nhiêu tiếp tuyến với mặt cầu ?
Định lí: Qua điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O;R) có vô số tiếp tuyến với mặt cầu .
+ Độ dài các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau
+ Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn trên mặt cầu
Nhận xét:
Diện tích mặt cầu bằng S=4πr 2
Thể tích khối cầu bằng V= πr 3
Cho mặt cầu S(O;R)
Ví dụ: Chứng minh có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của một tứ diện đều ABCD cạnh a cho trước. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu trên.
Giải:
Gọi M,N,P,Q,E,F lần lượt là trung điểm các cạnh AB,CD, AC, BD, BC, AD. MN, PQ, EF đồng quy tại O là trung điểm mỗi đoạn.
Do ABCD là tứ diện đều nên MN=PQ=EF và mỗi đoạn đều là đoạn vuông góc chung của các cặp cạnh đối.
Vậy, OM=ON=OP=OQ=OE=OF =r hay O cách đều các cạnh tứ diện ABCD. Suy ra các cạnh tứ diện đều tiếp xúc với mặt cầu (O;r)
Mặt khác , ta có : AN =
nên MN =
Suy ra : r = OM =
Diện tích mặt cầu là
Thể tích khối cầu là
Xin chân thành cảm ơn !
Một số hình ảnh về hình cầu:
Cho tứ diện đều ABCD, H là hình chiếu của A lên mp(BCD)
thì H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD do BCD
là tam giác đều nên H cũng là trọng tâm của tam giác BCD.
Trọng tâm G của tứ diện ABCD thuộc đoạn AH và AG
(Xem lại ví dụ 2, trang 25, 26. sgk)
TÍNH: AG ?
Nội dung chính của bài học
1. Định nghĩa mặt cầu, khối cầu.
2.Các thuật ngữ
(Các khái niệm có liên quan đến
mặt cầu: Tâm, bán kính, đường
kính, điểm nằm trong, nằm ngoài
mặt cầu).
3. Các ví dụ.
( Ví dụ 1, 2, 3 )
Hoạt động 2.

Tìm tập hợp tất cả các điểm
M trong không gian luôn luôn
nhìn đoạn thẳng AB cố định
Dưới một góc vuông
Giải.
Nếu M ≠ A và M ≠ B thì góc
AMB = 1v theo
VD1, tập hợp các điểm M cần
tìm là mặt cầu đường kính
AB ( M A, hoặc M B,
kq vẫn đúng )
TR?C NGHI?M
Cho tứ diện đều ABD cạnh bằng a. Tập hợp
các điểm M trong không gian sao cho:
MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 2a2 là:
Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tam giác ABC
và bán kính bằng
(B) Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tứ diện
và bán kính bằng
(C) Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tứ diện
và bán kính bằng
(D) Đường tròn có tâm là trọng tâm của tam giác ABC
và bán kính bằng
B�i t?p: Trong m?t ph?ng (P) cho hỡnh ch? nh?t ABCD, trờn du?ng th?ng (d) vuụng gúc mp`(ABCD) t?i A l?y di?m S khỏc A.
1) Cho AB = a, BC = , SA = a. Xỏc d?nh m?t c?u di qua 4 di?m S, A, B, C, Tớnh bỏn kớnh c?a m?t c?u n�y.
2) G?i E, F, H l?n lu?t l� hỡnh chi?u c?a A lờn SB, SC, SD. Ch?ng minh 7 di?m A, B, C, D, E, F, H cựng n?m trờn m?t m?t c?u. Ch?ng t? r?ng khi S thay d?i trờn du?ng th?ng (d) thỡ m?t c?u n�y c? d?nh
A
C’
A’
O