Chương II. §2. Mặt cầu

Hân hạnh được đón tiếp quí thầy cô và các em học sinh tham dự buổi học hôm nay
Vấn đề 1
Cho mặt cầu S(O;R)_ Rỏ ràng ta có thể dựng một hình chóp có các đỉnh thuộc mặt cầu S. Thử nêu cách dựng hình chóp đó ?
Hỏi: Cho trước một hình chóp S.A1A2...An . Có tồn tại mặt cầu nào đi qua các đỉnh của hình chóp hay không ? Nếu có hãy nêu cách xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó ?
$3. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và lăng trụ
Định nghĩa:
Một mặt cầu được gọi là ngoại tiếp hình chóp (hoặc lăng trụ) nếu nó đi qua mọi đỉnh của hình chóp đó (hay lăng trụ đó).
@..Phương Pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp (hay lăng trụ)
Đối với hình chóp S.A1A2..An
Dựng trục d của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy A1A2..An.
Chọn cạnh bên SAi (i=1...n) bất kì, và dựng mặt phẳng trung trực (P) của SAi .
Khi đó giao điểm I của d và (P) là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Chú ý: Khi hình chóp có một cạnh bên và trục d cùng nằm trong mp(Q), thì ta chỉ cần dựng đường trung trực ? của cạnh bên đó (trong mp(Q)). Lúc đó, giao điểm I của d và ? là tâm mặt cầu cần dựng
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - - - - -**
* * - - - - - - - . . . . . . . . . . . . . . .............
Ví dụ 1
@..Phương Pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp (hay lăng trụ)
Đối với lăng trụ đứng . A1A2..AnA`1A`2.A`n .
Dựng trục d của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy A1A2..An.
Chọn cạnh bên AiA`i (i=1...n) bất kì, và dựng đường trung trực ? của AiA`i ,(trong mp(d, AiA`i ) )
Khi đó giao điểm I của d và ? là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - - - - -* * * - - - - - - - . . . . . . . . . . . . . . .
Tập làm thám tử Sêlôc_hô để khám phá những Tính chất thú vị sau !
Điều kiện đủ để một hình chóp nội tiếp được là gì ?
Điều kiện đủ để một hình lăng trụ nội tiếp được là gì ?
Một hình chóp cụt có thể nội tiếp trong một mặt cầu hay không ? Điều kiện đủ để một hình chóp cụt nội tiếp được là gì ?
Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng 4a. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Giải:
Gọi I là trung điểm của AB.
Trong tam giác SAO, kẻ đường trung trực của cạnh SA cắt SO tại ?.
Vì hình chóp S.ABCD đều nên SO là trục của đường tròn (ABCD), suy ra:
?A = ?B = ?C = ?D (1)
Mặt khác ? thuộc đường trung trực của SA nên:
?A = ?S (2)
Từ (1) và (2), ta suy ra ? là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD, bán kính R = ?S .
Hai tam giác vuông SAO và S?I đồng dạng (vì có góc ASO chung), suy ra:
Hình vẽ
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A`B`C` ,có cạnh đáy bằng a, AA`=2a. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A`B`C`.
Giải:
Gọi O và O` lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A`B`C`. Do hình lăng trụ là đều, suy ra OO` vuông góc với 2 đáy,do đó OO` cũng là trục của đường tròn ngoại tiếp 2 đáy.
Gọi I là trung điểm của AA`, ? là hình chiếu của I trên OO` thì I? là trung trực của AA` (do AA`//OO`), do đó: ?A = ?A`. (1)
Mặt khác, I thuộc trục OO` nên:
?A= ?B = ?C và ?A` = ?B` = ?C` (2)
Từ (1) và (2) suy ra ? là tâm của Mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đã cho, có bán kính bằng R = ?A.
Tam giác ?OA vuông tại O nên ta có:
Thử sức : Ai nhanh hơn ?
Hình nào sau đây có các đỉnh nằm trên một mặt cầu ( nội tiếp được trong một mặt cầu).
1). Hình chóp tứ giác có đáy là hình bình hành.
2). Hình hộp
3). Hình lập phương
4). Hình chóp tam giác (đáy là tam giác bất kì)
5). Hình lăng trụ đứng có đáy là hình thang cân.
6). Hình lăng trụ đứng có đáy là hình thang vuông.