Chương II. §2. Mặt cầu

Chương IV
MẶT CẦU & MẶT TRÒN XOAY
GV THỰC HIỆN: TRƯƠNG QUỲNH QUÝ
BỘ MÔN: TOÁN
Phát biểu định lý trung tuyến trong tam giác?
A
Tập hợp các điểm trong mặt cầu cách đều
một điểm cố định là gì?
B
C
M
Bài 1: mặt cầu
1. ĐỊNH NGHĨA
Cho 1 điểm O cố định và một số thực dương R
Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách
điểm O một khoảng bằng R được gọi là mặt cầu tâm
O bán kính R. Ký hiệu: S(O;R) hay viết tắt là (S)
Như vậy ta có: S(O;R) = {M/ OM = R}
M
O
R
Nếu OA = R thì điểm A nằm trên mặt cầu S(O;R)
Nếu OA < R thì điểm A nằm trong mặt cầu S(O;R)
Nếu OA > R thì điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O;R)
A1
A2
A3
B
O
2. Bán kính, đường kính của mặt cầu
 Nếu điểm A nằm trên mặt cầu S(O;R) thì đoạn thẳng OA được gọi là bán kính mặt cầu (S)
 B đối xứng với A qua tâm O thì AB được gọi là đường kính của mặt cầu (S)
*VD1: Tìm tất cả các điểm M trong không gian sao cho tổng bình phương các khoảng cách từ M tới 2 điểm cố định A, B là 1 hằng số k2
B
A
O
GIẢI:
{M/MA2+MB2=k2}=???
Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB, với M bất kỳ ta có:
{M/MA2+MB2=k2}={M/OM=R}=S(O;R)
Khi đó quỹ tích điểm M là mặt cầu tâm O, bán kính

Khi đó quỹ tích điểm M là 1 điểm O
a/ Xác định mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D
b/ Cho AB=3a, BC=4a, AD=5a. Tính bán kính mặt cầu nói trên.
GIẢI:
a/ Ta có DA ⊥ (ABC) ⇒ DA ⊥ BC
Ta lại có: AB ⊥ BC nên BC ⊥ BD

Vậy A, B, C, D nằm trên mặt cầu tâm O là trung điểm DC

Bài 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT CẦU ĐỐI VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐưỜNG THẲNG
I. Vị trí tương đối của một mặt cầu và một mặt phẳng
Cho 1 mc S(O;R) và mp (P) bất kỳ
H=hc O/mp(P)
Khi đó OH=d[O, mp(P)]
Ta xét các trường hợp sau:
*Nếu OH>R
Khi đó mọi điểm M thuộc mp (P) thì OM > OH. Vậy mọi điểm của (P) đều nằm ngoài mc (S)
 
Bài 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT CẦU ĐỐI VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐưỜNG THẲNG
I. Vị trí tương đối của một mặt cầu và một mặt phẳng
Cho 1 mc S(O;R) và mp (P) bất kỳ
H=hc O/mp(P)
Khi đó OH=d[O, mp(P)]
Ta xét các trường hợp sau:
*Nếu OH=R
Khi đó H ∈ (S). ∀ M ∈ (P)
M ≢ H, thì OM > OH = R
Điểm H gọi là tiếp điểm của (S) và (P)
mp (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (S)
 
P
Bài 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT CẦU ĐỐI VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐưỜNG THẲNG
I. Vị trí tương đối của một mặt cầu và một mặt phẳng
Cho 1 mc S(O;R) và mp (P) bất kỳ
H=hc O/mp(P)
Khi đó OH=d[O, mp(P)]
Ta xét các trường hợp sau:
*Nếu OHKhi đó mp (P) sẽ cắt mc (S) theo 1 đường tròn C(H,r) với
 
C(O;R) gọi là đường
tròn lớn của mc S(O;R)
Bài 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT CẦU ĐỐI VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐưỜNG THẲNG
II. Vị trí tương đối của một mặt cầu và một đường thẳng
Cho 1 mc S(O;R) và đường thẳng d bất kỳ
Gọi H = hc O/d
Khi đó OH = [O,(d)]
Ta xét các trường hợp sau:
Nếu d không qua O thì: (O, d)  (S) = C(O; R)
Vậy d  (S) = 
Nếu d > R:
Khi đó: d  (C) = 
Nếu d đi qua O thì d cắt mặt cầu tại 2 điểm A, B với AB là đường kính của mặt cầu
Bài 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT CẦU ĐỐI VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐưỜNG THẲNG
II. Vị trí tương đối của một mặt cầu và một đường thẳng
Cho 1 mc S(O;R) và đường thẳng d bất kỳ
Gọi H = hc O/d
Khi đó OH = [O,(d)]
Ta xét các trường hợp sau:
Nếu d không qua O thì: (O, d)  (S) = C(O; R)
Vậy d  (S) = {H}
Nếu d = R:
Khi đó: d  (C) = {H}
Ta nói rằng d tx với mc S(O;R) tại H, H là tiếp điểm của d và (S)
Đường thẳng d gọi là tiếp tuyến của mc (S)
Bài 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT CẦU ĐỐI VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐưỜNG THẲNG
II. Vị trí tương đối của một mặt cầu và một đường thẳng
Cho 1 mc S(O;R) và đường thẳng d bất kỳ
Gọi H = hc O/d
Khi đó OH = [O,(d)]
Ta xét các trường hợp sau:
Nếu d không qua O thì: (O, d)  (S) = C(O; R)
Vậy d cắt (S) tại 2 điểm
Nếu d < R:
Khi đó d cắt (C) tại 2 điểm
Bài 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT CẦU ĐỐI VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐưỜNG THẲNG
III. Các tính chất của tiếp tuyến
Qua điểm A nằm trên mặt cầu S(O;R) có vô số tiếp tuyến của mặt cầu (S). Tất cả các tiếp tuyến này đều nằm trên tiếp diện của (S) tại điểm A.
Định lý 1:
Bài 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT CẦU ĐỐI VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐưỜNG THẲNG
III. Các tính chất của tiếp tuyến
Định lý 2:
Qua một điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; r) có vô số tiếp tuyến của mặt cầu đó. Tất cả các tiếp tuyến này tạo thành một mặt nón đỉnh A. Độ dài các đoạn thẳng kẻ từ A đến các tiếp điểm đều bằng nhau.