Chương II. §2. Mặt cầu

Trong thực tế cuộc sống hàng ngày các em thường thấy
hình ảnh nào là hình ảnh của khối cầu ? Cụ thể là ?
Hình ảnh trái đất
Hình ảnh mặt trăng
Hình ảnh trái bóng
Phần bề mặt của vật thể gọi là gì?
Trả lời: Tập hợp những điểm M trong mặt phẳng cách đều một điểm O cố định cho trước một khoảng không đổi bằng r (r > 0) gọi là đường tròn tâm O bán kính R.
10:15
Câu hỏi 2: Quan sát hình ảnh của mặt cầu và dựa vào định nghĩa đường tròn trong mặt phẳng để rút ra định nghĩa mặt cầu?
10:15
10:15
Tiết 14: MẶT CẦU
1.Định nghĩa:
* Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi bằng r ( r > 0 ) được gọi là mặt cầu tâm O bán kính r.
I/ MẶT CẦU VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN ĐẾN MẶT CẦU
Kí hiệu:
S(O ; r ) = {M / OM = r}
O.
M
M
10:15
Dây cung AB đi qua tâm O được gọi là đường kính của mặt cầu.
.
A
B
o
Một mặt cầu đưuợc hoàn toàn xác định nếu biết tâm và bán kính hoặc biết một đưu?ng kính.
*) Chú ý :
C
D
Hai điểm C, D thuộc S(O ;r) thì CD được gọi là dây cung của mặt cầu.
10:15
Câu hỏi 3: Vị trí tương đối của một điểm với đường tròn trong mặt phẳng?
Đáp án:
Cho A là một điểm trong mặt phẳng.
Khi đó giữa A và đường tròn có
3 vị trí tương đối xảy ra :
Nếu OA = r thì A nằm trên đường tròn.
Nếu OA > r thì A nằm ngoài đường tròn.
Nếu OA < r thì A nằm trong đường tròn.
Câu hỏi 4: Từ các vị trí tương đối của một điểm với đường tròn trong mặt phẳng hãy dự đoán giữa một điểm với mặt cầu trong kg có mấy vị trí tương đối?
10:15
I/ MẶT CẦU VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN ĐẾN MẶT CẦU
2. Điểm nằm trong và nằm ngoài mặt cầu . Khối cầu
Nếu OA = r thì điểm A thuộc mặt cầu. Khi đó OA là bán kính mặt cầu.
Nếu OA < r thì điểm A nằm trong mặt cầu.
Nếu OA > r thì điểm A nằm
ngoài mặt cầu.
Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O;r) cùng với các điểm nằm trong mặt cầu gọi là khối cầu S(O;r) hoặc hình cầu S(O;r)
O.
o
(Nói cách khác, khối cầu S(O ; r) là tập hợp các điểm M sao cho OM ≤ r).
Khi biểu diễn mặt cầu bằng phép chiếu song song thì trong trường hợp tổng quát, hình biểu diễn của mặt cầu là một hình elip.
3. Biểu diễn mặt cầu

10:15
II. GIAO CỦA MỘT MẶT CẦU VÀ MỘT MẶT PHẲNG
Cho một mặt cầu S(O;R) và mp(P) bất kỳ.
H
R
M
P
Gọi H là hình chiếu của O trên mp(P)
Khi đó OH = d(O,mp(P))
Ta xét các trường hợp sau :
Khi đó mọi điểm M  (P) thì OM>OH. Vậy mọi điểm của (P) đều nằm ngoài mặt cầu (S)
Vậy (S)  (P) = 
Nếu OH > R:
H
R
M
P
Khi đó điểm H  (S).  M (P), M khác H. thì OM > OH = R.
Vậy (S)  (P) = H
Điểm H gọi là tiếp điểm của (S) và (P)
Mặt phẳng (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (S)
Nếu OH = R:
H
R
M
P
H
R
M
P
Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O; r) tại điểm H là (P) vuông góc với bán kính OH tại điểm H đó
Khi đó mp(P) sẽ cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn C(H, r’) với r’ = R2 – d2
Khi d = 0 thì
C(O;R) gọi là đường tròn lớn của mặt cầu S(O;R).
Vậy (S)(P) = C(H,r)
Nếu OH < R:
H
R
M
P
Mp(P) gọi là mặt phẳng kính của mặt cầu đó
10:15
2
Hãy xác định đường tròn giao tuyến của mặt cầu S(O ; r) và mặt phẳng (P) biết rằng khoảng cách từ tâm O đến (P) một nửa bán kính mặt cầu.
r
O
M
H
Gọi H là hình chiếu của O lên (P) nên H là tâm đường tròn giao tuyến và
OH =
Giải
Ta có bán kính đường tròn giao tuyến là: