Chương II. §2. Mặt cầu

Chào mừng quý Thầy Cô
đã đến dự giờ
I : tâm của mặt cầu (S)
I. MẶT CẦU:
1. ĐỊNH NGHĨA:
Trong không gian cho điểm I cố định và một số thực dương R
(S) = {M / IM = R}
R : bán kính của mặt cầu (S)
Bài 10: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
I .
M
R
2 . PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU :

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a; b ; c) và bán kính R là:
(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2
a) ĐỊNH LÝ :
M(x ; y ; z)?(S)
? IM2 = R2
? IM = R
? (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2
Bài 10: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
I .
R
. M
* Chứng minh:
Phương trình : x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by -2cz + d = 0

* Nhận xét:
? (x - a)2 + (y - b )2 + (z - c)2 = a2 + b2 + c2 - d
(với a2 + b2 + c2 - d > 0) là phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a ; b ; c) và bán kính
R =
b) HỆ QUẢ:
* Mặt cầu có tâm O, bán kính R có phương trình là:
x2 + y2 + z2 = R2
2 . PHƯƠNGTRÌNH MẶT CẦU:
Bài 10: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
O
x
y
z
R
. I
a
b
c
Mặt cầu có tâm I(a ; b ; c) và tiếp xúc với mp(Oxy)
H
K
K( a ; b ; 0 )
? IK = OH = ?
b) HỆ QUẢ:
* Mặt cầu có tâm O, bán kính R có phương trình là:
x2 + y2 + z2 = R2
* Mặt cầu có tâm I(a; b; c) và tiếp xúc với (Oxy) (hoặc (Oxz) ; (Oyz)) có phương trình :
(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = c2 ( hoặc b2 ; a2)
2 . PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU:
Bài 10: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
O
x
y
z
a
b
c
Mặt cầu có tâm I(a; b; c) và tiếp xúc với trục Oz
R
H
K
H( 0 ; 0 ; c )
R = IH = OK = ?
* Mặt cầu có tâm I (a; b; c) và tiếp xúc với trục Ox (hoặc Oy ; Oz) có phương trình:
(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = b2 + c2
hoặc (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = a2 + c2
hoặc (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = a2 + b2
b) HỆ QUẢ:
* Mặt cầu có tâm O, bán kính R có phương trình là:
x2 + y2 + z2 = R2
* Mặt cầu có tâm I(a; b; c) và tiếp xúc với (Oxy) (hoặc (Oxz) ; (Oyz)) có phương trình :
(x - a)2 + (y - b)2 +(z - c)2 = c2 ( hoặc b2 ; a2 )
2 . PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU:
Bài 10: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:
Giải
Bán kính R =
(x + 1)2 + (y - )2 + (z - 4)2 = 17
Vậy phương trình mặt cầu (S) là:
b) (S) có đường kính AB với A(3 ; 2 ; - 4) ; B(- 3 ; 0 ; -2)
Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:
Giải
Tâm I của (S) là trung điểm của AB ? I (0 ; 1; -3)
Vậy phương trình mặt cầu (S):
x2 + (y - 1)2 + (z + 3)2 = 11
A
B
. I
II. GIAO CỦA MỘT MẶT CẦU VỚI MỘT MẶT PHẲNG:
Cho mặt cầu (S) : (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2
? IH > R
I .
R
H
và mặt phẳng (?) : Ax + By + Cz + D = 0
Gọi H là hình chiếu của tâm I mặt cầu (S) lên mặt phẳng (?)
? (?) ? (S) = ?
Bài 10: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
M
II. GIAO CỦA MỘT MẶT CẦU VỚI MỘT MẶT PHẲNG:
Cho mặt cầu (S) : (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2
và mặt phẳng (?) : Ax + By + Cz + D = 0
Gọi H là hình chiếu của tâm I mặt cầu (S) lên mặt phẳng (?)
R
.
H
Khi đó (?) gọi là tiếp diện của mặt cầu (S) và H gọi là tiếp điểm.
? IH = R
? (?) ? (S) = {H}
I.
Bài 10: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
M
? IH < R
II. GIAO CỦA MỘT MẶT CẦU VỚI MỘT MẶT PHẲNG:
Cho mặt cầu (S) : (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2
và mặt phẳng (?) : Ax + By + Cz + D = 0
Gọi H là hình chiếu của tâm I mặt cầu (S) lên mặt phẳng (?)
R
I .
Khi đó (?) cắt (S) theo thiết diện là một đường tròn (C)
có tâm là H và bán kính r =
? (?) ? (S) = (C)
H
r
M
Bài 10: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
.
II. GIAO CỦA MỘT MẶT CẦU VỚI MỘT MẶT PHẲNG:
Cho mặt cầu (S) : (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2
và mặt phẳng (?) : Ax + By + Cz + D = 0
Gọi H là hình chiếu của tâm I mặt cầu (S) lên mặt phẳng (?)
Bài 10: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Ví dụ :
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho
mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 - 6x + 4y - 2z - 86 = 0
và mặt phẳng (?) : 2x - 2y - z + 9 = 0
a) Chứng tỏ (?) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là đường tròn (C)
Giải
Do đó (?) cắt (S) theo thiết diện là một đường tròn (C).
Mặt cầu (S) có tâm I(3; -2; 1) , bán kính R = 10
b) Tìm tâm và bán kính của (C)
Ví dụ:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho
mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 - 6x + 4y - 2z - 86 = 0
và mặt phẳng (?) : 2x - 2y - z + 9 = 0

Giải
a) Chứng tỏ (?) cắt (S) theo thiết diện là đường tròn (C)
Bán kính r =
Giao điểm H của (d) và (?) ứng với giá trị t là nghiệm của phương trình:
Gọi (d) là đường thẳng qua I và vuông góc với (?) .
Phương trình tham số của (d) là:
(t? R)
2(3 + 2t) - 2(-2 - 2t) - (1 - t ) + 9 = 0 ? t = -2
Vậy: H (-1 ; 2 ; 3)
Cám ơn quý Thầy Cô
đã đến dự giờ