Chương II. §2. Mặt cầu

CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP
I/Khái niệm :
Mặt cầu ngoại tiếp đa diện là mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của đa diện.
II/ Điều kiện để hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp :
Đáy của hình chóp là một đa giác nội tiếp được trong một đường tròn.
Chú ý : hình chóp tam giác ( tứ diện ) luôn có mặt cầu ngoại tiếp.
II/Kiến thức cũ :

a/Trục của đường tròn:
- Trục đường tròn là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn và đi qua tâm của đường tròn đó.
- Một điểm bất kì trên trục đường tròn thì cách đều các điểm thuộc đường tròn.

b/Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng :
-Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng cho trước là mặt phẳng qua trung điểm và vuông góc với đoạn thẳng đó.
-Các điểm trên mặt phẳng trung trực thì cách đều 2 đầu mút của đoạn thẳng đó.


III/ Phương pháp xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp:

*Cách 1:
-Dựng trục (d) của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
-Dựng mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của 1 cạnh bên (hoặc dựng trục (d’) của đường tròn ngoại tiếp 1 mặt bên).
- Lúc đó, mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có :
+ Tâm I là giao điểm của (d) với mặt phẳng (P) (hoặc I là giao điểm của (d’) với (d))
+ Bán kính R = IA (với A là một đỉnh của hình chóp hoặc đa giác đáy).
*Đặc biệt : Nếu hình chóp có một cạnh bên đồng phẳng với trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy thì trong mặt phẳng chứa cạnh bên đó và trục của đường tròn đã nêu, ta chỉ cần dựng đường trung trực của cạnh bên đó.

Lúc đó giao điểm của đường trung trực của cạnh bên và trục chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp.
*Cách 2:
Tâm I là trung điểm MN
Bán kính : R = MN/2
Chứng minh các đỉnh của hình chóp cùng nhìn đoạn MN cố định dưới một góc vuông. Lúc đó, mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó có :
Bài tập áp dụng :
Cho hình tứ diện ABCD có AD ⊥(ABC); tam giác ABC vuông tại B. xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Giải:
*Cách 1:
AD ⊥(ABC)
=> AD ⊥AC => Tam giác
ACD vuông tại A.
Gọi I là trung điểm của CD
=> IA=IC=ID (1)
A
B
C
D
I
{
A
B
C
D
I
BC⊥AB
BC⊥AD(AD⊥(ABC))
BC⊥(ABD) => BC⊥BD
=>
=>
Tam giác BCD vuông tại B => IB=IC=ID (2)
Từ (1),(2), suy ra : I cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp => I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp => bán kính : R= CD/2
A
B
C
D
Cách 2:
AD⊥(ABC)=>AD⊥AC(1)

{
BC⊥AB
BC⊥AD(AD⊥(ABC))
=>BC ⊥(ABD)=>BC ⊥BD(2)
Từ (1) và (2) suy ra: Hai điểm A, B cùng nhìn đoạn CD dưới 1 góc vuông => tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu đường kính CD có bán kính là :
R = CD/2
A
B
C
D
I
O
M
d
Cách 3:
Tam giác ABC vuông tại B nên nội tiếp đường tròn đường kính AB, có tâm O là trung điểm AC.
Dựng trục d của tam giác ABC => d đi qua O và d ⊥(ABC)
AD ⊥(ABC) => d // AD (d nằm trong (ACD))
Gọi M là trung điểm của AD. Đường trung trực của cạnh AD đi qua M, vuông góc với d và cắt d tại I.
=> ID=IA(1)
Lại có : IA=IB=IC (I thuộc trục d của tam giác ABC)(2)
Từ (1) và (2) suy ra :
I cách đều các đỉnh của hình chóp ABCD => I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, bán kính là : R=CD/2.
BÀI BÁO CÁO ĐẾN ĐÂY LÀ HẾT
CẢM ƠN CÔ VÀ CÁC BẠN ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE