Chương II. §2. Mặt cầu

17/01/2014
4
1
Bài 2. MẶT CẦU
Trong mặt phẳng (P) cho 2 điểm A,B cố định, M di động,
Tập hợp tất cả các điểm M là đường tròn đường kính AB.
Nhắc lại định nghĩa đường tròn trong mặt phẳng?
ĐTròn động
Mở rộng trong không gian, Tập hợp tất cả các điểm M thỏa yêu cầu nêu trên cho ta hình gì?
Ta đã biết về mặt tròn xoay. Hình nào tròn xoay cho ra mặt cầu?
MC xoay
Hình ảnh trái đất
Hình ảnh mặt trăng
Hình ảnh trái bóng
Một số vật có hình ảnh là mặt cầu thường gặp:
I. MẶT CẦU VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN ĐẾN MẶT CẦU
1. Mặt cầu
M
.

r


.

.

.

.


B

Mặt cầu tâm O bán kính r, kí hiệu là S(O;r).
Vậy: S(O;r) = { M / OM = r}
C

D


A

- Dây cung AB đi qua tâm O được gọi là một đường kính của mặt cầu và AB = 2r.
Cho mặt cầu S(O;r) và điểm A,B,C.
Nhận xét vị trí tương đối của các điểm A,B,C đối với mặt cầu?
2. Điểm trong và điểm ngoài của mặt cầu. Khối cầu
r
Nhận xét:
A nằm trên mặt cầu S(O;R)
B nằm trong mặt cầu S(O;R)
C nằm ngoài mặt cầu S(O;R)
OA = r
OB < r
OC > r
r
2. Điểm trong và điểm ngoài của mặt cầu. Khối cầu
A.
A.
- Nêu OA = r
- Nêu OA > r
- Nêu OA < r
Cho mặt cầu S(O;r) và điểm A bất kì.
A.
Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O;r) cùng với các điểm nằm trong mặt cầu dú được gọi là khối cầu hoặc hình cầu tâm O bán kớnh r
thì A nằm trên mặt cầu.
thì A nằm ngoài mặt cầu.
thì A nằm trong mặt cầu.
Ví dụ: quả bóng đá, quả bóng chuyền...
Ví dụ: viên bi, trái đất…
Mặt cầu bên trong rỗng
Khối cầu bên trong đặt
Mặt cầu
Khối cầu (Hình cầu)
3. Biểu diễn mặt cầu
- Để biểu diễn một mặt cầu trên mặt phẳng ta thường dùng một đường tròn.
- Để tăng tớnh trực quan người ta thường vẽ thêm hình biểu diễn của một số đường tròn nằm trên mặt cầu dú.
B
Kinh tuyến
Vĩ tuyến
4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu
Cho mặt cầu S(O ; R) và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm O trên mp( P ). Khi đó h = OH là khoảng cách từ O tới mặt phẳng (P).
Hãy cho biết giữa mặt cầu và mặt phẳng có thể có những vị trí tương đối nào xảy ra ?
II. GIAO ĐIỂM CỦA MẶT CẦU VỚI MẶT PHẲNG
(1). Mp và mặt cầu không có điểm chung
(2). Mp và mặt cầu tiếp xúc với nhau tại 1 điểm.
(3). Mp cắt mặt cầu theo 1 đường tròn.
Nếu M là một điểm thuộc (P) thì OM OH. Thì OM > r.
P
O
H
.
Vậy mọi điểm M trên mặt phẳng đều nằm ngoài mặt cầu . Do đó mặt phẳng và mặt cầu không có điểm chung.
1. Trường hợp h > r
Mp(P) cắt mặt cầu tại một điểm duy nhất H.
Khi đó ta nói mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O;r) tại H.
Mp(P) là tiếp diện của mặt cầu tại điểm H. Điểm H gọi là điểm tiếp xúc (hoặc tiếp điểm) của (P) và mặt cầu.
P
.
O
H
.
.
M
r
2. Trường hợp h = r
Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O ; r) tại điểm H là (P) vuông góc với bán kính OH tại tiếp điểm H đó.
P
.
O
H
.
R
P
.
O
.
H
.
M
r’
r
Mp(P) cắt mặt cầu S(O ; r) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên mp(P) có tâm là H và có bán kính:
r’ = r2 - d2
3. Trường hợp h < r
Khi h = 0 thì tâm của mặt cầu thuộc mặt phẳng (P) Ta có giao tuyến của (P) và mặt cầu là đường tròn tâm O bán kính r. Đường tròn này gọi là đường tròn lớn của mặt cầu.
.
Mặt phẳng (P) đi qua tâm O của mặt cầu gọi là mặt phẳng kính của mặt cầu đó.
r
M
O
ĐẶC BIỆT
P
.
O
H
.
R
.
O
.
H
.
M
r
α
Câu hỏi:
Hãy xác định đường tròn giao tuyến của mặt cầu S(O;r) và mặt phẳng (α) biết rằng khoảng cách từ tâm O đến (α) bằng
Giải:
(α) cắt mặt cầu theo đường tròn
tâm H bán kính là đoạn MH
Tính bán kính MH = ?
MH² =
OM² - OH² =
Vậy đường tròn cần tìm có tâm H và bán kính bằng
Cho mặt cầu S(O ; r) và đường thẳng Δ.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên Δ và
d = OH là khoảng cách từ O tới Δ.
Hãy cho biết giữa mặt cầu và đường thẳng có thể có những vị trí tương đối nào xảy ra ?
III. GIAO CỦA MẶT CẦU VỚI ĐƯỜNG THẲNG. TIẾP TUYẾN CỦA MẶT CẦU
(1). ĐT không cắt mặt cầu.
(2). ĐT và mặt cầu tiếp xúc với nhau tại 1 điểm.
(3). ĐT cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt.
1.Nếu d > r thì Δ không cắt mặt cầu S(O;r).
B
A
O
r
d
2.Nếu d = r thì Δ cắt mặt cầu tại một điểm duy nhất. Đường thẳng Δ và mặt cầu S(O ; r) có điểm chung duy nhất là H. Khi đó, ta nói đường thẳng Δ tiếp xúc với mặt cầu tại điểm H (Δ là tiếp tuyến của mặt cầu tại H). Điểm H gọi là điểm tiếp xúc (hoặc tiếp điểm) của Δ và mặt cầu.
B
A
O
r
d
B
A
O
(∆)
h
3.Nếu d < r thì Δ cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt M, N.
r
d
M
N
.
.
Đặc biệt: khi d = 0 thì đt Δ đi qua tâm O và cắt mặt cầu tại hai điểm A, B. Khi đó AB là đường kính của mặt cầu.
Nhận xét:
O
A
a. HS đọc (Xem hình vẽ)
P
b. Đọc và xem hình vẽ
O
A
Mặt cầu nội tiếp hình trụ
Chú ý:
a. Mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ …
b. Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện
O
I’
A’1
A’2
A’4
A3
A1
I
S
A2
A3
A4
O
d
A’3
A2
A4
A1
Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ
Mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình lập phương
B
C
A’
B’
C’
D’
A
D
O
Câu hỏi: Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu:
a). Đi qua 8 đỉnh của hình lập phương.
YC HS làm.
IV. CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH MẶT CẦU VÀ THỂ TÍCH KHỐI CẦU
1.Mặt cầu bán kính r có diện tích là:
S = 4πr2
2.Khối cầu bán kính r có thể tích là:

Chú ý: (sgk)
Câu hỏi: Cho hình lập phương ngoại tiếp mặt cầu có bán kính r cho trước. Hãy tính thể tích của hình lập phương đó?
Yêu cầu HS làm?
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
.
O
M
N
r
Qua bài này các bạn cần nắm:
Định nghĩa mặt cầu.
Bài tập về nhà:1, 2, 7,9, 10/ 49
2. Điểm nằm trong và nằm ngoài mặt cầu. Khối cầu.
3. Giao của mặt cầu với mặt phẳng.
4. Giao của mặt cầu với đường thẳng. Tiếp tuyến của mặt cầu.
5. Mặt cầu nội tiếp ngoại tiếp hình đa diện.
6. Công thức tính diện tích của mặt cầu và thể tích của của khối cầu.