Chương II. §2. Mặt cầu

Tiết 18
MẶT CẦU
Trong không gian cho mặt cầu S(O; r) và điểm M, hãy điền vào chỗ trống để có khẳng định đúng.
M nằm trong mặt cầu S(O; r) …………..
M thuộc mặt cầu S(O; r) …………..
M nằm ngoài mặt cầu S(O; r) …………..
OM r
OM r
OM r
<
>
=
Em hãy cho biết những vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng?
Để nhận biết vị trí tương đốigiữa mặt cầu và mặt phẳng ta căn cứ vào yếu tố nào?
Để nhận biết mặt cầu và mặt phẳng có vị trí tương đối như thế nào ta căn cứ vào khoảng cách h từ tâm O của mặt cầu tới mặt phẳng.
+) Nếu h > r thì mặt cầu và mặt phẳng không có điểm chung.
+) Nếu h = r thì mặt cầu và mặt phẳng có 1 điểm chung. Khi đó ta nói mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu.
+) Nếu h < r thì mặt cầu và mặt phẳng có một đường tròn chung (giao tuyến của mặt phẳng và mặt cầu là một đường tròn).
∆
H
.
O
R
∆
H
.
O
R
∆
H
.
O
R
∆
H
.
O
R
∆
H
R
H
.
O
R
TH 2: h = r
TH 3: h < r
.
∆
H
r
.
O
A
B
(C)
∆
H
r
O
(C)
P
P
P
h
h
h
TH 1: h > r
Nếu h > r thì đường thẳng và mặt cầu (S)
có bao nhiêu điểm chung? Vì sao?
Nếu h = r thì đường thẳng và mặt cầu (S)
có bao nhiêu điểm chung? Vì sao?
Cho biết số điểm chung của đường thẳng và mặt cầu (S) khi h < r?
Điều kiện cần và đủ để đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm H là gì?
Ta có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến của mặt cầu tại một điểm cho trước thuộc mặt cầu?
Nhận xét:
a) Qua điểm A nằm trên S(O; r) có vô số tiếp tuyến của mặt cầu đó.Tất cả tiếp tuyến này đều vuông góc với bán kính OA của mặt cầu tại A và đều nằm trên mp tiếp xúc với mặt cầu tại điểm A đó.
Có bao nhiêu tiếp tuyến với mặt cầu từ một điểm cho trước nằm ngoài mặt cầu?
Các tiếp tuyến này có đặc điểm gì?
b) Qua điểm A nằm ngoài S(O, r) có vô số tiếp tuyến của mặt cầu đó.Các tiếp tuyến này tạo thành mặt nón đỉnh A. Khi đó độ dài các đoạn thẳng kẻ từ A đến các tiếp điểm đều bằng nhau
Chú ý:
+) Người ta nói:
Mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt cầu đó tiếp xúc với tất cả các mặt của hình đa diện,
Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu.
+) Khi mặt cầu nội tiếp (ngoại tiếp) hình đa diện, người ta cũng nói hình đa diện ngoại tiếp (nội tiếp) mặt cầu.
3. Cho hình lập phương có cạnh bằng a. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu:
Đi qua 8 đỉnh của hình lập phương.
Tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập Phương.
Tiếp xúc với 6 mặt của hình lập phương.
.O
E
H
Gợi ý:
Hình lập phương là hình
như thế nào?
Có đặc biệt gì về cạnh,
góc, và mặt?
Đường chéo của hình vuông
có cạnh a bằng bao nhiêu?
Mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình lập phương, khi đó mặt cầu và hình lập phương có quan hệ với nhau như thế nào? Yếu tố đó giúp ta tìm được điều gì?
Giải
a) Mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ nên ta có mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương. Do đó tâm của mặt cầu là tâm O của hình lập phương.
+) Bán kính r của mặt cầu là khoảng cách từ tâm O đến các đỉnh của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.
+) Xét tam giác vuông A’DC có: DC = a; A’D =
(ĐL Pytago)
Vậy tâm của mặt cầu (S) trùng với tâm hình lập phương
Bán kính r =
Chú ý:
Diện tích S của mặt cầu bán kính r bằng bốn lần diện tích hình tròn lớn của mặt cầu đó.
Thể tích V của khối cầu bán kính r bằng thể tích khối chóp có diện tích đáy bằng diện tích mặt cầu và có chiều cao bằng bán kính của khối cầu đó.
Hướng dẫn về nhà
+) Nắm chắc các vị trí tương đối của một điểm, một mặt phẳng và một đường thẳng đối với mặt cầu.
+) Nắm được cách xác định tâm và bán kính mặt cầu nội, ngoại tiếp đa giác.
+) Làm ?4; và bài 7; 8; 9;10 (SGK – 49)