Chương II. §2. Mặt cầu

CHƯƠNG 2 :

MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN
Chúng ta quan sát một số hình ảnh sau :
Hình ảnh trái đất
Hình ảnh mặt trăng
Hình ảnh quả bóng
Tất cả những hình ảnh trên là hình ảnh của mặt cầu
Bài 1: MẶT CẦU, KHỐI CẦU
1). Định nghĩa
Cho một điểm O cố định và một số thực dương R.
Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách điểm O một khoảng bằng R được gọi là mặt cầu tâm O bán kính R.
Ký hiệu:S(O;R) hay viết tắt là (S)
Như vậy ta có : S(O;R) = {M / OM = R } .
a) Ví dụ 1: Cho 2 điểm A,B cố định. Chứng minh rằng tập hợp các điểm M sao cho là mặt cầu đường kính AB
Giải : Gọi I là trung điểm của AB,ta có :
Như vậy : MI = IA = ½ AB = R
Do đó tập hợp các điểm M thỏa
là mặt cầu đường kính AB
Hãy cho biết tâm và bán kính của mặt cầu đường kính AB ?
2) Một số ví dụ :

Ví dụ 2:
Cho tam giác ABC vuông tại B, DA (ABC)
a/ Xác định mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D
b/ Cho AB = 3a, BC = 4a, AD = 5a. Tính bán kính mặt cầu nói trên.
D
A
B
C
Giải:
a/ Ta có:
DA BC
Lại có: AB BC
nên BC DB.
Suy ra: DAC = DBC = 900
Vậy A,B,C,D nằm trên mặt cầu tâm O là trung điểm DC
O
3 ) Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng :
Cho mặt cầu S(I;R) có tâm I, b�n kính R và m.phẳng (P) .

H
Gọi d là khoảng cách từ I đến m.p (P) Ta có 3 trường hợp sau :
Hãy cho biết số điểm chung của mặt cầu ( S ) và mặt phẳng ( P ) trong mỗi trường hợp trên.
Nếu d > R thì (S) và (P) không có điểm chung;
Nếu d = R thì (S) và (P) có duy nhất 1 điểm chung H –ta nói (P) và (S) tiếp xúc nhau tại tiếp điểm H và (P) gọi là tiếp diện của m.cầu (S);
Nếu d < R thì (S) và (P) có vô số điểm chung – ta nói (S) cắt (P) theo một giao tuyến là đường tròn (C) có tâm H, bán kính r =
Khi d = 0 thì (P) đi qua tâm I của mặt cầu (S),
khi đó (P) gọi là mặt phẳng kính và
giao tuyến của (P) và (S) là đường tròn có bán kính R- gọi là đường tròn lớn của mặt cầu.
( trên hình vẽ : C và C’ )
Củng cố,luyện tập :

Hãy chọn mệnh đề đúng !
Một điểm thuộc khối cầu S(I;R) khi nó thuộc mặt cầu S(I;R) ;
Một điểm không thuộc mặt cầu S(I;R) thì nó không thuộc hình cầu S(I;R) ;
Điểm thuộc mặt cầu S(I;R) cách tâm I một khoảng lớn nhất so với các khoảng cách từ các điểm thuộc khối cầu S(I;R) đến tâm của nó ;
Nếu gọi X là tập hợp các điểm của mặt cầu (S) và Y là tập hợp các điểm của khối cầu (S) thì ta có :