Chương II. §2. Mặt cầu

? Khái niệm đường tròn trong mặt phẳng
O
M
Xét trong mặt phẳng
Tập hợp những điểm M trong mặt phẳng cách điểm O cố định một khoảng không đổi bằng r (r > 0) được gọi là đường tròn tâm O bán kính r.
O.
Xét trong không gian
? Tập hợp các điểm M cách điểm O cố định một khoảng r không đổi tạo ra hình gì?
Kiến thức mới
r
TIẾT 18-§2. MẶT CẦU
Chương II
: MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU
Chúng ta quan sát một số hình ảnh sau :
Hình ảnh trái đất
Hình ảnh mặt trăng
Hình ảnh quả bóng
Tất cả các hình ảnh trên là hình ảnh của mặt cầu
.O
M.
r
(S)
1. Định nghĩa mặt cầu
Tập hợp các điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi bằng r (r > 0) được gọi là mặt cầu tâm O, bán kính r
S(O ; r) = { M / OM = r}
Kí hiệu : S (O,r) hay (S)
M
O
C
D
B
A
* Nếu hai điểm C, D nằm trên mặt cầu S(O ; r) thì đoạn thẳng CD được gọi là dây cung của mặt cầu đó .
* Dây cung AB đi qua tâm O của mặt cầu được gọi là đường kính của mặt cầu (AB = 2r).
Mặt cầu được xác định khi nào?
Trả lời: Một mặt cầu được hoàn toàn xác định khi biết tâm và bán kính, hoặc biết một đường kính của nó.
Muốn chứng minh một tập hợp điểm nằm trên một mặt cầu nào đó thì cần chứng minh điều gì?
Trả lời: Muốn chứng minh một tập hợp điểm nằm trên một mặt cầu cần chứng minh các điểm trên cách đều một điểm cố định
Cho mặt cầu S(O ; r) và ba điểm A, B, C trong không
gian như hình vẽ. Hãy xét vị trí của ba điểm A, B, C so
với mặt cầu ? Cơ sở nào để xác định vị trí tương đối đó?
2. Điểm nằm trong, điểm nằm ngoài mặt cầu. Khối cầu:
O
B
O
B
C
Vị trí tương đối giữa một điểm và một mặt cầu
điểm C nằm ngoài mặt cầu
điểm A nằm trên mặt cầu
điểm B nằm trong mặt cầu
OA = R
OC > R
OB < R
Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O ; r) cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu S(O ; r) hoặc hình cầu S(O ; r).
M
O
B
A
Nói cách khác, khối cầu S(O ; r) là tập hợp các điểm M sao cho OM ≤ r.
Hãy so sánh sự khác nhau giữa mặt cầu và khối cầu?
- Người ta thường dùng phép chiếu phép chiếu vuông góc để biểu diễn cho mặt cầu. Khi đó hình biểu diễn của mặt cầu là một hình tròn.

- Để hình biểu trực quan hơn, người ta vẽ thêm hình biểu diễn của đường tròn.
3. Biểu diễn mặt cầu:
O.
R
Các bước biểu diễn mặt cầu S(O,R)
B2: Vẽ thêm 1 số đường tròn nằm trên mặt cầu
B1: Vẽ 1 đường tròn
Ví dụ: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Chứng minh rằng các đỉnh A, B, C, D, A’, B’, C’, D’ của hình lập phương nằm trên một mặt cầu.
Giải
Gọi O là giao điểm của các đường chéo của hình lập phương.
O
Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên các đường chéo bằng nhau và O là trung điểm của các đường chéo
Suy ra: các đỉnh của hình lập phương cách đều điểm O
Vậy, các đỉnh của hình lập phương nằm trên một mặt cầu.
Hệ thống
cách xác định mặt cầu
Tâm
Bán kính
định nghĩa
VTTĐ giữa 1điểm và mc
MẶT CẦU
Mặt cầu
?
A
D
B
C
BT: Cho tứ diện ABCD biết DA vuông góc với mp( ABC ) tại A. Tam giác ABC vuông tại B.
Bi?t : DA = 3cm, AC = 4cm, AB = 3cm.
Tớnh d? d�i cỏc c?nh DC, DB, BC.
Ch?ng minh tam giỏc DBC vuụng
Cmr A, B, C, D cùng thuộc một mặt cầu.
Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó?
A
D
B
C
GIẢI
Tính độ dài các cạnh DC, DB, BC
+) vuông tại D


+) vuông tại D


+) vuông tại B (gt)




A
D
B
C
GIẢI
b) Chứng minh tam giác DBC vuông


+) Vậy tam giác DBC vuông tại B
c) Cmr A, B, C, D cïng thuéc mét mÆt cÇu.
X¸c ®Þnh t©m vµ b¸n kÝnh cña mÆt cÇu ®ã?
+) Gọi O là trung điểm cạnh DC
+) Tam giác DAC vuông tại A
nên OA = OD = OC
+) Tam giác DBC vuông tại B
nên OB = OD = OC
+) Vậy A, B, C, D cùng thuộc mặt cầu
tâm O, bán kính r = OD = ½. DC = 2,5cm



A
D
B
C
GIẢI
c) Cmr A, B, C, D cïng thuéc mét mÆt cÇu.
X¸c ®Þnh t©m vµ b¸n kÝnh cña mÆt cÇu ®ã?
+) Gọi O là trung điểm cạnh DC
+) Tam giác DAC vuông tại A nên OA = OD = OC
+) Tam giác DBC vuông tại B nên OB = OD = OC
+) Vậy A, B, C, D cùng thuộc mặt cầu tâm O, bán kính r = OD = ½. DC = 2,5cm