Chương II. §1. Mặt cầu, khối cầu

Tập thể lớp 12 B2 năm học 2008-2009 Trường THPT Như Thanh

Kính chào các thầy

giáo, cô giáo về dự

giờ thăm lớp

Kiểm tra bài cũ
Khái niệm đường tròn trong mặt phẳng?
Vị trí tương đối của đường tròn với một điểm trong mặt phẳng?
Đường tròn là tập hợp tất cả những điểm trong mặt phẳng cách đều một điểm O cố định cho trước một khoảng không đổi.
M là một điểm trên đường tròn khi đó OM gọi là bán kính của đường tròn (bằng r).
.
M
r
O
.
M
r
O
Cho M là một điểm trong mặt phẳng. Khi đó giữa M và đường tròn có 3 vị trí tương đối xảy ra :
Nếu OM = r thì M nằm trên đường tròn.
Nếu OM > r thì M nằm ngoài đường tròn.
Nếu OM < r thì M nằm trong đường tròn.
M2
M1
Chúng ta quan sát một số hình ảnh sau :
Hình ảnh trái đất
Hình ảnh mặt trăng
Hình ảnh quả bóng
Một số hình ảnh về hình cầu:
§1. MÆt cÇu – khèi cÇu
Chương II: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón
.I
M.
Trong không giancho 1 điểm I cố
định và� 1 số R > 0 không đổi
R
(s)

Mặt cầu (S) có tâm I bán kính R là
Tập hợp các điểm M sao cho
MI = R
R : bán kính mặt cầu (S)
I : tâm mặt cầu (S)
1. Định nghĩa mặt cầu

Kí hiệu : S ( I ; R)
Ta có: S(I ; R) = { M / IM = R}
- Dây cung AB đi qua tâm O của mặt cầu được gọi là đường kính của mặt cầu (bằng 2R).
M
O
C
D
B
A
* Các thuật ngữ
- Nếu hai điểm C, D nằm trên mặt cầu S(O ; R) thì đoạn thẳng CD được gọi là dây cung của mặt cầu đó
Nếu OA = R thì điểm A thuộc mặt cầu. Khi đó OA là bán kính mặt cầu.
Nếu OA < R thì điểm A nằm trong mặt cầu.
Nếu OA > R thì điểm A nằm ngoài mặt cầu.
Cho mặt cầu S(O ; R) và A là điểm bất kì trong không gian.
Giữa điểm A và mặt cầu có mấy vị trí tương đối xảy ra ?
Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O ; R) cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu S(O ; R) hoặc hình cầu S(O ; R).
M
O
B
A
Nói cách khác, khối cầu S(O ; R) là tập hợp các điểm M sao cho OM ≤ R.

Ví dụ 1: Cho tam giỏc ABC d?u c?nh a.Tỡm t?p h?p cỏc di?m M trong khụng gian sao cho:
MA2 + MB2 + MC2 = 2a2
Giải: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có:
Do: MA2 + MB2 + MC2 =
=3MG2 + GA2 + GB2 + GC2 + 2
(
)
=3MG2 + GA2 + GB2 + GC2
Mà tam giác ABC đều cạnh a nên GA=GB=GC=
Suy ra 3MG2 =a2
hay MG=
Mà M cố định, do vậy tập hợp các điểm M là mặt
cầu tâm G bán kính R =
Ví dụ 2: Cho t? di?n d?u ABCD c?nh a. Tỡm t?p h?p cỏc di?m M sao cho:
MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 2a2
Với G là trọng tâm tứ diện, ta có
và MA2 + MB2 + MC2 + MD2 =
=
= GA2+ GB2 + GC2 + GD2 + 4MG2
Mà tứ diện ABCD đều cạnh a, nên GA=GB=GC=GD=
Giải
Do đó 4MG2 = hay MG =
Vậy tập các điểm M là mặt cầu tâm G bán kính R =
2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Khi đó d = OH là khoảng cách từ O tới mặt phẳng (P).
P
H
Cho mặt cầu S(O ; R) và mặt phẳng (P).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm O trên mp( P ).
Hãy cho biết giữa mặt cầu và mặt phẳng có thể có những vị trí tương đối nào xảy ra ?
Nếu M là một điểm thuộc (P) thì OM > OH. OM > R.
P
O
H
.
Vậy mọi điểm M trên mặt phẳng đều nằm ngoài mặt cầu . Do đó mặt phẳng và mặt cầu không có điểm chung.
Nếu M là một bất kỳ điểm thuộc (P) thì OM > OH. OM > R.
O
H
.
Vậy mọi điểm M trên mặt phẳng đều nằm ngoài mặt cầu . Do đó mặt phẳng và mặt cầu không có điểm chung.
P
P
O
H
.
P
O
.
.
H
.
O
.
.
H
R
.
P
.
.
H
(S)
Mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có bao nhiêu điểm chung ?
Mp(P) và mặt cầu có một điểm duy nhất H.
Khi đó ta nói mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu tại H.
Mp(P) là tiếp diện của mặt cầu tại điểm H. Điểm H gọi là điểm tiếp xúc (hoặc tiếp điểm) của (P) và mặt cầu.
O
O
.
.
H
R
.
.
.
H
P
.
.
.
O
R
P
.
O
H
.
R
P
.
O
.
H
.
M
r
R
Mp(P) cắt mặt cầu S(O ; R) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên mp(P) có tâm là H và có bán kính:
r = R2-d2
Khi d = 0 thì tâm của mặt cầu thuộc mặt phẳng (P) Ta có giao tuyến của (P) và mặt cầu là đường tròn tâm O bán kính r. Đường tròn này gọi là đường tròn lớn của mặt cầu.
.
Mặt phẳng (P) đi qua tâm O của mặt cầu gọi là mặt phẳng kính của mặt cầu đó.
r
M
O
O 
Ta phải chứng minh các góc nào vuông?
Bài 1:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với các
cạnh là 3cm và 4cm. Cạnh bên SA có độ dài là ?11 cm và vuông góc với
đáy. CMR tất cả các đỉnh của hình chóp đều nằm trên một mặt cầu
đường kính SC.Tìm độ dài bán kính của mặt cầu đó .
D
A
B
C
S ?
*)SA ? (ABCD) =>SA? AC
=> SAC = 900
Bài giải
=> A ? mặt cầu đường kính SC
*)AB là hình chiếu của SB
trên mp (ABCD), BC ?AB
=> BC ? SB => SBC = 900
=> B ? mặt cầu đường kính SC
Tương tự
SDC = 900
=> D ? mặt cầu đường kính SC
S,A,B,C,D cùng nằm trên một mặt cầu đường kính SC,
tâm là trung điểm của SC, độ dài bán kính là: R = 3 cm
Khi đó ta nói rằng mặt cầu đường kính SC ngoại tiếp hình chóp SABCD và hình chóp SABCD nội tiếp mặt cầu đường kính SC
A
B
C
A`
B`
C `
D`
 O
D
Bài 2 : CMR tất cả các đỉnh của một hình hộp chữ nhật đều nằm trên
một mặt cầu.
Gi?i
Gi? s? hỡnh h?p ch? nh?t l� ABCD.A`B`C`D`.
G?i O l� giao di?m c?a AC` v� A`C.
Khi dú d? th?y: OA=OB=OC=OD=OA`=OB` =OC`=OD`.
V?y t?t c? cỏc d?nh c?a hỡnh h?p ch? nh?t d?u n?m trờn m?t c?u tõm O, l� tõm c?a hỡnh h?p ch? nh?t
Khi dú ta núi m?t c?u tõm O ngo?i ti?p hỡnh h?p ch? nh?t hay hỡnh h?p n?i ti?p m?t c?u
Bài toán 1 (SGK trang 41)
Chứng minh rằng hình chóp nội tiếp một mặt cầu khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác nội tiếp một đường tròn
Mặt cầu gọi là ngoại tiếp hình đa diện H và hình đa diện H gọi là nội tiếp một mặt cầu khi nào ?
Mặt cầu gọi là ngoại tiếp hình đa diện H và hình đa diện H gọi là nội tiếp một mặt cầu khi mặt cầu đi qua mọi đỉnh của hình đa diện H
Một hình chóp nội tiếp một mặt cầu khi và chỉ khi nào ?
Quy trình tìm
tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
B1)Kiểm tra điều kiện: Đáy của hình chóp phải có đường tròn ngoại tiếp .
B2) Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp đáy hình chóp.
B3) Dựng trục đường tròn ngoại tiếp đáy hình chóp,gọi là d.
B4)Dựng mặt phẳng trung trực của một cạnh bên gọi là mặt phẳng (?) => O = d?(?)
Phương pháp cơ bản:
Quy trình tìm
tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Nhưng thông thường:
*) Chọn một mặt phẳng (P) thuận lợi:
Thoả mãn đồng thời chứa trục đường tròn d.
chứa một cạnh bên SA.
*) Trong (P) dựng một đường trung trực của
SA => cắt d tại O là tâm mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp đã cho.
Quy trình tìm
tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Đặc biệt:
*)Nếu tất cả các đỉnh của hình chóp nhìn một đoạn thẳng cố định dưới một góc vuông => hình chóp nội tiếp mặt cầu đường kính là đoạn thẳng đó.
Hoặc:
Nếu có một mặt phẳng (P) chứa
+)d: Trục đường tròn đáy
+)?: Trục đường tròn của một mặt bên
Tâm mặt cầu ngoại tiếp chop là
O = d ? ?.
B�i 1::Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a,
Bài giải:
Vẽ hình?
Đáy
mặt bên hợp với mặt đáy một góc ?.
Xác định tâm và bán kính của
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
A
B
C
P ?
? N
? H
Đường cao
Của chóp
S
?
Cạnh bên
của chóp
Giả sử tâm là O => OA = OB = OC = OS
a
a
a
a?3 /2
Tâm đáy?
M ?
Một mặt phẳng qua
SA và trục đường tròn
Trong mặt phẳng SAH:
? O
Vẽ trung trực cạnh SA, cắt trục
đường tròn tại O
SH = ?
? O
SM.SA = SO.SH
1/2SA.SA = SO.SH
B�i 2:Chóp tứ giác đều.Tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
A
D
C
B
. H
. S
*Tâm phải nằm trên SH
? O
*Tâm phải nằm trên một trung trực SA
M?
Một mặt phẳng chứa trục đường tròn và một cạnh bên