Chương II. §1. Mặt cầu, khối cầu

NHI?T LI?T CH�O M?NG
C�C TH?Y Cễ GI�O V� C�C EM H?C SINH
Khái niệm đường tròn trong mặt phẳng?
Vị trí tương đối của đường tròn với một điểm trong mặt phẳng?
Đường tròn là tập hợp tất cả những điểm trong mặt phẳng cách đều một điểm O cố định cho trước một khoảng không đổi.
M là một điểm trên đường tròn khi đó OM gọi là bán kính của đường tròn (bằng r).
.
M
r
O
.
M
r
O
Cho M là một điểm trong mặt phẳng. Khi đó giữa M và đường tròn có 3 vị trí tương đối xảy ra :
Nếu OM = r thì M nằm trên đường tròn.
Nếu OM > r thì M nằm ngoài đường tròn.
Nếu OM < r thì M nằm trong đường tròn.
M2
M1
Chúng ta quan sát một số hình ảnh sau :
Hình ảnh trái đất
Hình ảnh mặt trăng
Hình ảnh trái bóng
BàI 1: mặt cầu, KH?I C?U
1.Dịnh nghĩa:
* Cho một điểm O cố định và một số thực dương R . Tập hợp tất cả nh?ng điểm M trong không gian cách điểm O một khoảng cho trước bằng R được gọi là mặt cầu tâm O bán kính R.
i/ D?NH NGHIA M?T C?U:
KÝ hiÖu:
O.
m
m
Nếu OA = R thì điểm A thuộc mặt cầu. Khi đó OA là bán kính mặt cầu.
Nếu OA < R thì điểm A nằm trong mặt cầu.
Nếu OA > R thì điểm A nằm ngoài mặt cầu.
Cho mặt cầu S(O ; R) và A là điểm bất kì trong không gian.
Giữa điểm A và mặt cầu có mấy vị trí tương đối xảy ra ?
2) CÁC THUẬT NGỮ
a) Cho S(O;R) và một điểm A bất kỳ:
* OA=R: A nằm trên mặt cầu và do?n th?ng OA g?i l� bán kớnh mặt cầu
* OA > R: A nằm ngoài mặt cầu.

* OA
Nếu OA và OB là hai bán kính sao cho A, O, B thẳng hàng thì đoạn thẳng AB được gọi là đường kính của mặt cầu
.
A
B
o
Một mặt cầu được hoàn toàn xác định nếu biết tâm và bán kính
hoặc biết một đường kính.

b) Chú ý :
C)T?p h?p cỏc di?m thu?c m?t c?u S(O;R) cựng v?i cỏc di?m n?m trong m?t c?u g?i l� kh?i c?u S(O;R) ho?c hỡnh c?u S(O;R)
O.
o
(Nói cách khác, khối cầu S(O ; R) là tập hợp các điểm M sao cho OM ≤ R).
A
m
b
i
3/ các ví dụ :
Vớ d? 1: Cho hai di?m A v� B c? d?nh . Ch?ng minh r?ng t?p h?p cỏc di?m M sao cho MA.MB o l� m?t c?u du?ng kớnh AB
Giải
Gọi I là trung điểm của AB, ta có:





Vậy tập hợp các điểm M là mặt cầu
tâm I bán kính R = IA, tức mặt cầu đường kính AB.
I.
Ví dụ 2:
Cho tam giác ABC vuông tại B, DA (ABC),bi?t
AB = 3a, BC = 4a, AD = 5a
Ch?ng minh r?ng bốn điểm A, B, C, D c�ng n?m tr�n m?t m?t c?u.
X�c d?nh t�m v� b�n kính c?a m?t c?u dĩ
D
A
B
C
Giải:
a/ Ta có:
DA (ABC)
DA BC
Lại có: AB BC
nên BC DB.
Suy ra: DAC = DBC = 90, g?i O l� trung di?m CD thì
OA = OB = OC = OD

Vậy A,B,C,D nằm trên mặt cầu tâm O là trung điểm DC B�n kính b?ng
I
R = OA = OB = OC = OD mà


Vậy:
Ví dụ 3:
Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a.Tìm tập hợp
các điểm M trong không gian sao cho:
MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 2a2
Giải
* Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD, ta có: MA2 + MB2 + MC2 + MD2 =




Vì G là trọng tâm của tứ diện đều ABCD nên:

và cạnh của tứ diện bằng a nên GA = GB = GC = GD =

Vậy ta có: MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 4MG2 +

* Do đó: MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 2a2 MG =


* Vậy: Tập hợp các điểm M là
mặt cầu tâm G, bán kính R =
Cho tứ diện đều ABCD, H là hình chiếu của A lên mp(BCD)
thì H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD do BCD
là tam giác đều nên H cũng là trọng tâm của tam giác BCD.
Trọng tâm G của tứ diện ABCD thuộc đoạn AH và AG
(Xem lại ví dụ 2, trang 25, 26. sgk)
TÍNH: AG ?
Nội dung chính của bài học
1. Định nghĩa mặt cầu, khối cầu.
2.Các thuật ngữ
(Các khái niệm có liên quan đến
mặt cầu: Tâm, bán kính, đường
kính, điểm nằm trong, nằm ngoài
mặt cầu).
3. Các ví dụ.
( Ví dụ 1, 2, 3 )
Hoạt động 1.
Tìm tập hợp tâm các mặt
cầu luôn đi qua 2 điểmcố
định A và B cho trước.
Giải.
Gọi O là tâm mặt cầu,ta
Có OA = OB. Vậy tập
Hợp các điểm O cần tìm
là mặt phẳng trung trực
của AB
Trong không gian, tập hợp các điểm O cách đều hai điểm
A, B cho trước chính là mặt phẳng trung trực của đoạn AB.

Nội dung chính của bài học
1. Định nghĩa mặt cầu, khối cầu.
2.Các thuật ngữ
(Các khái niệm có liên quan đến
mặt cầu: Tâm, bán kính, đường
kính, điểm nằm trong, nằm ngoài
mặt cầu).
3. Các ví dụ.
( Ví dụ 1, 2, 3 )

Hoạt động 2.
Tìm tập hợp tất cả các điểm
M trong không gian luôn luôn
nhìn đoạn thẳng AB cố định
Dưới một góc vuông
Giải.
Nếu M ≠ A và M ≠ B thì góc
AMB = 1v theo
VD1, tập hợp các điểm M cần
tìm là mặt cầu đường kính
AB ( M A, hoặc M B,
kq vẫn đúng )
TR?C NGHI?M
Cho tứ diện đều ABD cạnh bằng a. Tập hợp
các điểm M trong không gian sao cho:
MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 2a2 là:

Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tam giác ABC
và bán kính bằng
(B) Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tứ diện
và bán kính bằng
(C) Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tứ diện
và bán kính bằng
(D) Đường tròn có tâm là trọng tâm của tam giác ABC
và bán kính bằng
B�i t?p: Trong m?t ph?ng (P) cho hỡnh ch? nh?t ABCD, trờn du?ng th?ng (d) vuụng gúc mp`(ABCD) t?i A l?y di?m S khỏc A.
1) Cho AB = a, BC = , SA = a. Xỏc d?nh m?t c?u di qua 4 di?m S, A, B, C, Tớnh bỏn kớnh c?a m?t c?u n�y.
2) G?i E, F, H l?n lu?t l� hỡnh chi?u c?a A lờn SB, SC, SD. Ch?ng minh 7 di?m A, B, C, D, E, F, H cựng n?m trờn m?t m?t c?u. Ch?ng t? r?ng khi S thay d?i trờn du?ng th?ng (d) thỡ m?t c?u n�y c? d?nh
Xin chân thành cảm ơn !
Khi biểu diễn mặt cầu bằng phép chiếu vuông góc thì hình biểu diễn của mặt cầu là một đường tròn.
Khi biểu diễn mặt cầu bằng phép chiếu song song thì trong trường hợp tổng quát, hình biểu diễn của mặt cầu là một hình elip.
Một số hình ảnh về hình cầu: