Chương II. §1. Mặt cầu, khối cầu

- Vị trí tương đối của đường tròn và đường thẳng ?
H
H
H
A
B
d>R: Đường thẳng không cắt đường tròn
d=R: Đường thẳng tiếp xúc đường tròn
d
O
- Các phương pháp chứng minh đường thẳng d tiếp xúc đường tròn (O;R) ?
C1: CM d và (O) có điểm chung duy nhất
C2: CM khoảng cách từ O đến d bằng R
C3: CM d vuông góc với bán kính OH tại H
- Nêu các tính chất của tiếp tuyến đường tròn ?
Qua điểm A nằm trên đường tròn có duy nhất một tiếp tuyến với đường tròn.
Qua điểm A nằm ngoài đường tròn có hai tiếp tuyến đến đường tròn và độ dài các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm bằng nhau
A
O
A
T1
T2
2.Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu S(O ; R) và đường thẳng Δ.
Gọi H là hình chiếu của O trên Δ và
d = OH là khoảng cách từ O tới Δ.

2.Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu S(O ; R) và đường thẳng Δ.
Gọi H là hình chiếu của O trên Δ và
d = OH là khoảng cách từ O tới Δ.

- Nêu điều kiện cần và đủ để điểm M là một điểm chung của S(O;R) và đường thẳng ∆ ?
M là một điểm chung của S(O;R) và đường thẳng ∆
+ R+ R=d:
+ R+ Làm thế nào để xét vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng ?
Các cách chứng minh đường thẳng tiếp xúc mặt cầu ?
C1: CM Δ và (S) có điểm chung duy nhất
C2: CM khoảng cách từ O đến Δ bằng R
C3: CM Δ vuông góc với bán kính OH tại H
1
2
3
Nhận xét
(P) là mặt phẳng chứa Δ , (P) cắt mặt cầu theo đường tròn C. Khi đó:
Δ tiếp xúc với (S)
↔ Δ tiếp xúc C
- Phương pháp cm bài toán có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh một hình đa diện ?
- Cm tồn tại một điểm I cách đều các cạnh của hình đa diện
Ví dụ: Chứng minh có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của một tứ diện đều ABCD cho trước.
Ví dụ: Chứng minh có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của một tứ diện đều ABCD cho trước.
Gọi M,N,P,Q,E,F lần lượt là trung điểm các cạnh AB,CD, AC, BD, BC, AD. MN, PQ, EF đồng quy tại O là trung điểm mỗi đoạn.
Do ABCD là tứ diện đều nên MN=PQ=EF và mỗi đoạn đều là đoạn vuông góc chung của các cặp cạnh đối.
Vậy, OM=ON=OP=OQ=OE=OF =r hay O cách đều các cạnh tứ diện ABCD. Suy ra các cạnh tứ diện đều tiếp xúc với mặt cầu (O;r)

Các tính chất của tiếp tuyến
Qua điểm A trong mặt cầu có bao nhiêu
tiếp tuyến với mặt cầu ?
Qua điểm A nằm trên mặt cầu S(0;R) có vô số tiếp tuyến của mặt cầu (S). Tất cả các tiếp tuyến này đều nằm trên tiếp diện của (S) tại điểm A.
CM: ??a ? A; a ? OA ?
? Có vô số tiếp tuyến với (S) tại A
? Các tiếp tuyến này nằm trên mp(P):
mp(P) ? A, (P) ? OA
? mp(P) là tiếp diện của (S) tại A.
?? a là tiếp tuyến của S(O;R) tại A
Các tính chất của tiếp tuyến
? Qua điểm A trên mặt cầu có bao nhiêu
tiếp tuyến với mặt cầu ?
Các tính chất của tiếp tuyến
? Qua điểm A nằm ngoài mặt cầu có bao nhiêu
tiếp tuyến với mặt cầu ?
Định lí: Qua điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O;R) có vô số tiếp tuyến với mặt cầu .
+ Độ dài các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau
+ Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn trên mặt cầu

Các tính chất của tiếp tuyến
Định lí: Qua điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O;R) có vô số tiếp tuyến với mặt cầu .
+ Độ dài các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau


CM: Đặt OA=d,  d>R.
Gọi (P) là mặt phẳng tuỳ ý đi qua AO, (P)  S(O;R) = C(O;R).
Vì A nằm ngoài (S) nên A nằm ngoài (C). Do đó ta có hai tiếp tuyến AM và AM’ tới đường tròn (C) . Đó cũng là hai tiếp tuyến của mặt cầu (S). Cho (P) thay đổi vẫn đi qua AO ta có vô số tiếp tuyến của mặt cầu.
Trong tam giác AMO: AM2=AO2-MO2 =d2-R2 suy ra
Vậy các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm bằng nhau.
4. Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
Kinh tuyến
Vĩ tuyến
Cho mặt cầu đường kính AB.
Mỗi nửa mặt phẳng có bờ AB cắt mặt cầu theo một nửa đường tròn đường kính AB gọi là kinh tuyến
Mỗi mặt phẳng vuông góc với AB nếu cắt mặt cầu theo một đường tròn thì đường tròn đó gọi là vĩ tuyến
A
B

Cho mặt cầu S(O;R)

Diện tích mặt cầu bằng S=4πR2

Thể tích khối cầu bằng V= πR3
Ví dụ: Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện đều cạnh a.
Cho mặt cầu (O ; R) tiếp xúc với mp(P) tại I, M là một điểm nằm trên mặt cầu. Hai tiếp tuyến tại M của mặt cầu cắt tại mp(P) tại A và B.
Chứng minh rằng
Vì mp(P) tiếp xúc với mặt cầu tại I nên AI và BI là hai tiếp tuyến với mặt cầu.
Giải:
Vì AM và AI là hai tiếp tuyến với mặt cầu kẻ từ điểm A nên:
AM = AI.
Tương tự ta có BM = BI.
?Hai tam giác AMB và AIB bằng nhau (c, c, c).