Chương II. §1. Mặt cầu, khối cầu

Mặt cầu tâm O, bán kính R, ký hiệu là S(O; R)
S(O; R) = {M/ OM = R}
OA = OB = R nên
A, B  S(O; R)
OC < R nên C nằm trong mặt cầu S(O; R)
OD > R nên D nằm ngoài mặt cầu S(O; R)
So sánh các đoạn thẳng OA, OB, OC, OD với R, suy ra
quan hệ của các điểm A, B, C, D với mặt cầu S(O; R) ?
Khối cầu S(O; R) bao gồm các điểm thuộc mặt cầu
và nằm trong mặt cầu S(O; R)
Gọi I là trung điểm AB, ta có:
 MI2−IA2=0
 MI=IA:không đổi; I cố định
Vậy tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm I bán kính IA tức là đường kính AB.
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho:
MA2+MB2+MC2+MD2=2a2
Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD. Ta có:
2a2 = MA2+MB2+MC2+MD2=
=4MG2+GA2+GB2+GC2+GD2+
Từ đó suy ra: MG2=
G
A`
I
B
C
D
A
a
Cho mặt cầu S(O; R) và một mp(P) bất kỳ. Gọi H là hình chiếu của O trên (P) và OH là khoảng cách từ O đến (P).
Ta xét các trường hợp:
OH > R: (S)  (P) .
OH R: Ta nói (P) tiếp xúc với (S) tại H. H gọi là tiếp điểm của (S) và (P), (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (S).
OH < R: Khi đó (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C) tâm H bán kính r, với
Đặc biệt khi OH 0, khi đó (S)  (P) C(O; R) gọi là đường tròn lớn của mặt cầu (S)
Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng  
Nếu O  , mp(O, ) cắt (S) theo đường tròn C(O; R), gọi d[O, ]  OH
Ta có các trường hợp sau:
OH > R: (S)   .
OH R: (S)   {H} Ta nói  tiếp xúc (S) tại điểm H H gọi là tiếp điểm của  và (S)  gọi là tiếp tuyến của mặt cầu (S)
OH < R:   (C)  {A, B} Suy ra   (S)  {A, B}
Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; R) thì qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu. Khi đó:
Độ dài các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau.
Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu.
Quan sát hình vẽ, hãy cho biết
Có bao nhiêu tiếp tuyến qua điểm A nằm ngoài mặt cầu?
So sánh độ dài các đoạn thẳng nối từ A đến các tiếp điểm ?
Quỹ tích của các tiếp điểm của các tiếp tuyến phát xuất từ A đến mặt cầu?
S = 4R2
Cho mặt cầu S(O; R), diện tích mặt cầu là:
Thể tích mặt cầu là:
Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h.
Gọi SH là đường cao của hình chóp đều S.ABC. Khi đó nên mọi điểm nằm trên SH cách đều A, B, C.
Dựng mặt phẳng trung trực của cạnh SA, cắt SA tại I và SH tại O. Ta có O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính của mặt cầu là R=SO.
Tính SO:
SIO và SHA đồng dạng:
SA2 = SH2 + AH2
Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là
a
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC, SD. Chứng minh rằng các điểm A, B, C, D, A’, B’, C’, D’ cùng thuộc một mặt cầu. Tính thể tích khối cầu đó.
Gọi SH là đường cao của hình chóp đều S.ABCD thì SH đi qua tâm H’ của hình vuông A’B’C’D’. Mọi điểm nằm trên SH đều cách đều 4 điểm A, B, C, D và 4 điểm A’, B’, C’, D’.
Dựng mặt phẳng trung trực của cạnh AA’, cắt AA’ tại I và SH tại O thì O cách đều 8 điểm A, B, C, D, A’, B’, C’, D’, tức là 8 điểm đó nằm trên mặt cầu tâm O, bán kính R=OA.
Ta có ΔSAC vuông cân, nên ΔSIO cũng là tam giác vuông cân đỉnh I.
Vậy thể tích khối cầu phải tìm là
a
a
Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC biết rằng SA=a, SB=b, SC=c và 3 cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Chứng minh rằng S, trọng tâm ΔABC và tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC thẳng hàng.
Gọi J là trung điểm AB. ΔSAB vuông tại S nên JS=JA=JB.
Gọi d là đường thẳng vuông góc với (SAB) tại J thì mọi điểm trên d cách đều S, A, B.
Gọi I là giao điểm của d và mặt phẳng trung trực của SC thì I cách đều 4 điểm S, A, B, C.
Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có tâm I và bán kính R=IA.
R2=IA2=IJ2+AJ2
Tính R
Diện tích mặt cầu là
S=4R2
=(a2+b2+c2)
Gọi G là giao điểm của CJ và SI. Ta có SC=2IJ và SC//IJ nên CG=2GI. Mà CJ là trung tuyến của ΔABC nên G là trọng tâm ΔABC.
a
b
c
1. Tập hợp tâm của các mặt cầu đi qua 2 điểm A và B cho trước là mặt phẳng trung trực của AB.
2. Tập hợp tâm của các mặt cầu đi qua 3 điểm cho trước là trục của đường tròn ngoại tiếp ABC.
3. Tập hợp tâm của các mặt cầu đi qua một đường tròn cho trước là trục của đường tròn đó.
4. Tập hợp tâm của các mặt cầu tiếp xúc với 3 cạnh của tam giác cho trước là trục của đường tròn nội tiếp tam giác đó.
Thuộc công thức tính diện tích và thể tích khối cầu.
Làm bài tập 7b và bài 8 trang 45 Sgk Hình 12 NC