Chương II. §1. Mặt cầu, khối cầu

MẶT CẦU
KHỐI CẦU
MẶT CẦU
KHỐI CẦU
Tiết 17
Cho mặt cầu S(O ; R) và mặt phẳng (P). Khi đó d = OH là khoảng cách từ O tới mặt phẳng (P).
Hãy cho biết giữa mặt cầu và mặt phẳng có thể có những vị trí tương đối nào xảy ra ?
II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VỚI MẶT PHẲNG
(1). Mp và mặt cầu không có điểm chung
(2). Mp và mặt cầu tiếp xúc với nhau tại 1 điểm.
(3). Mp cắt mặt cầu theo 1 đường tròn.
Nếu M là một điểm thuộc (P) thì OM OH. Thì OM > R.
P
O
H
.
Vậy mọi điểm M trên mặt phẳng đều nằm ngoài mặt cầu . Do đó mặt phẳng và mặt cầu không có điểm chung.
1. Trường hợp d > R
Mp(P) cắt mặt cầu tại một điểm duy nhất H.
Khi đó ta nói mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O;R) tại H.
Mp(P) là tiếp diện của mặt cầu tại điểm H. Điểm H gọi là điểm tiếp xúc (hoặc tiếp điểm) của (P) và mặt cầu.
P
.
O
H
.
.
M
R
2. Trường hợp d = R
P
.
O
H
.
R
P
.
O
.
H
.
M
r
R
Mp(P) cắt mặt cầu S(O ; R) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên mp(P) có tâm là H và có bán kính r:
r = R2 - d2
3. Trường hợp d < R
Khi d = 0 thì tâm của mặt cầu thuộc mặt phẳng (P) Ta có giao tuyến của (P) và mặt cầu là đường tròn tâm O bán kính R. Đường tròn này gọi là đường tròn lớn của mặt cầu.
.
Mặt phẳng (P) đi qua tâm O của mặt cầu gọi là mặt phẳng kính của mặt cầu đó.
R
M
O
ĐẶC BIỆT
P
*). Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện
O
I’
A’1
A’2
A’4
A3
A1
I
S
A2
A3
A4
O
d
A’3
A2
A4
A1
Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ
?1: Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O ; R) tại điểm H là (P) vuông góc với bán kính OH tại tiếp điểm H đó.
Bài toán 1: Mặt cầu đi qua mọi đỉnh của hình đa diện (H) gọi là mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện (H).
Chứng minh rằng hình chóp nội tiếp 1 mặt cầu khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác nội tiếp đường tròn.
Cho mặt cầu S(O ; R) và đường thẳng Δ.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên Δ và
d = OH là khoảng cách từ O tới Δ.
Hãy cho biết giữa mặt cầu và đường thẳng có thể có những vị trí tương đối nào xảy ra ?
III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VỚI ĐƯỜNG THẲNG.
(1). ĐT không cắt mặt cầu.
(2). ĐT và mặt cầu tiếp xúc với nhau tại 1 điểm.
(3). ĐT cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt.
1.Nếu d > R thì Δ không cắt mặt cầu S(O;R).
B
A
O
R
d
2.Nếu d = R thì Δ cắt mặt cầu tại một điểm duy nhất. Đường thẳng Δ và mặt cầu S(O ; R) có điểm chung duy nhất là H. Khi đó, ta nói đường thẳng Δ tiếp xúc với mặt cầu tại điểm H (Δ là tiếp tuyến của mặt cầu tại H). Điểm H gọi là điểm tiếp xúc (hoặc tiếp điểm) của Δ và mặt cầu.
B
A
O
R
d
B
A
O
(∆)
h
3.Nếu d < R thì Δ cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt M, N.
R
d
M
N
.
.
Đặc biệt: khi d = 0 thì đt Δ đi qua tâm O và cắt mặt cầu tại hai điểm A, B. Khi đó AB là đường kính của mặt cầu.
Nhận xét:
O
A
P
O
A
ĐỊNH LÝ: sgk
CỦNG CỐ
1.Các vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng,đường thẳng.
2.Hiểu các khái niệm : Tiếp diện,tiếp điểm,mặt phẳng kính,đường tròn lớn,tiếp tuyến…
3.Nắm được cách xét vị trí tương đối …
4.Nắm được cách xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và lăng trụ.
MẶT CẦU
KHỐI CẦU
MẶT CẦU
KHỐI CẦU
Tiết 18
Kiểm tra bài cũ
1.Nêu điều kiện để hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp?Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ?
2.Bài tập 5 ( 45 )
Trong các mệnh đề sau,mệnh đề nào đúng?
a)Nếu hình đa diện nội tiếp mặt cầu thì tất cả các mặt của nó là đa giác nội tiếp đường tròn.
b)Nếu tất cả các mặt của hình đa diện nội tiếp đường tròn thì đa diện đó nội tiếp mặt cầu?
A
S
S’
B
C
O
IV. CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH MẶT CẦU VÀ THỂ TÍCH KHỐI CẦU
1.Mặt cầu bán kính R có diện tích là:
S = 4πR2
2.Khối cầu bán kính R có thể tích là:

Qua bài này các em cần nắm:
Định nghĩa mặt cầu.
2. Điểm nằm trong và nằm ngoài mặt cầu. Khối cầu.
3. Giao của mặt cầu với mặt phẳng.
4. Giao của mặt cầu với đường thẳng. Tiếp tuyến của mặt cầu.
5. Mặt cầu nội tiếp ngoại tiếp hình đa diện.
6. Công thức tính diện tích của mặt cầu và thể tích của của khối cầu.

BÀI TẬP : MẶT CẦU
?1:Nêu cách xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ?
1.Xác định tâm:
-xác định tâm tròn ngoại tiếp đáy.
-dựng trục của đáy.
-dựng mặt phẳng trung trực của 1 cạnh bêngiao của trục và mặt phẳng này là tâm mặt cầu ngoại tiếp.
1.Mặt cầu bán kính R có diện tích là:
S = 4πR2
2.Khối cầu bán kính R có thể tích là:

?2:Viết công thức tính diện tích mặt cầu ,thể tích khối cầu?
Bài tập 7 –Trang 45
a)Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng h.
Giải: Gọi O là giao điểm của SH với mặt phẳng trung trực của SC thì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp.Bán kính mặt cầu là SO.
Dễ thấy 2 Δ:SOC’ Và SCH đồng dạng nên ta có
Vậy thể tích mặt cầu là:
b)Cho chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bằng a.Gọi A’,B’,C’,D’ là trung điểm các cạnh SA,SB,SC,SD. Chứng minh các điểm A,B,C,D,A;,B’,C’,D’ cùng thuộc một mặt cầu.Tính thể tích Khối cầu đó.
Bài tập 7 –Trang 45
Giải:
Gọi SH là đường cao của hình chóp đều,thì H là tâm hình vuông ABCD và SH đi qua tâm H’ của A’B’C’D’ nên mọi điểm nằm trên SH cách đều 4 điểm A;B;C;D và cũng cách đều 4 điểm A’;B’;C’;D’.Trên SH xác định điểm O sao cho OC =OC’ thì O là tâm mặt cầu cần tìm.bán kính mặt cầu R = OC
Dễ thấy tam giác SAC vuông cân nên gọi I là trung điểm CC’ thì SOI cũng vuông cân tại I => OI=SI=3a/4.
Nên AM=DM => Tam giác AMD cân =>MN vuông góc với AD.Tương tự thì MN vuông góc với BC
Do đó các tam giác vuông AON và BOM bằng nhau => OA=OB.Tương tự ta có : OC=OD=OA=OB => O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.Bán kính là OA.
Bài 8 (45)
Cho tứ diện ABCD với:AB=CD=c;AC=BD=b;AD=BC=a
a)Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện?
b) Chứng minh rằng có một mặt cầu tiếp xúc với 4 mặt của tứ diện.
Giải: Gọi M,N lần lượt là trung điểm AD,BC.O là trung điểm MN.
Có nhận xét gì về độ dài các cạnh của các tam giác ABC,DBC?
Bài 8 (45)
Cho tứ diện ABCD với:AB=CD=c;AC=BD=b;AD=BC=a
a)Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện?
b) Chứng minh rằng có một mặt cầu tiếp xúc với 4 mặt của tứ diện.