Chương II. §1. Mặt cầu, khối cầu

MẶT CẦU
KHỐI CẦU
MẶT CẦU
KHỐI CẦU
Nhóm 1-12a7
Kiến thức cũ
Khái niệm đường tròn trong mặt phẳng?
Vị trí tương đối của đường tròn với một điểm trong mặt phẳng?
CÂU HỎI
Đường tròn là tập hợp tất cả những điểm trong mặt phẳng cách đều một điểm O cố định cho trước một khoảng không đổi.
M là một điểm trên đường tròn khi đó OM gọi là bán kính của đường tròn (bằng r).
TRẢ LỜI
.
M
r
O
.
M
r
O
Cho M là một điểm trong mặt phẳng. Khi đó giữa M và đường tròn có 3 vị trí tương đối xảy ra :
Nếu OM = r thì M nằm trên đường tròn.
Nếu OM > r thì M nằm ngoài đường tròn.
Nếu OM < r thì M nằm trong đường tròn.
M2
M1
TRẢ LỜI
Chúng ta quan sát một số hình ảnh sau :
Hình ảnh trái đất
Hình ảnh mặt trăng
Hình ảnh trái bóng
Tất cả những hình ảnh trên là hình ảnh của mặt cầu
Một số hình ảnh về hình cầu:
ĐỊNH NGHĨA MẶT CẦU
Định nghĩa
Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R không đổi gọi là mặt cầu có tâm là O và bán kính bằng R.
Mặt cầu là hình tròn xoay sinh bởi một đường tròn khi quay quanh đường thẳng chứa một đường kính của đường tròn đó.
Thông qua những hình ảnh đã quan sát hãy nêu khái niệm về mặt cầu ?
M
O
Kí hiệu : S ( O ; R).
Ta có: S(O ; R) = { M / OM = R}
C
D
B
A
Nếu hai điểm C, D nằm trên mặt cầu S(O ; R) thì đoạn thẳng CD được gọi là dây cung của mặt cầu đó .
Dây cung AB đi qua tâm O của mặt cầu được gọi là đường kính của mặt cầu (bằng 2R).
Xác định tâm và bán kính của mặt cầu thỏa mãn một số điều kiện cho trước:
Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng bằng R cho trước là mặt cầu tâm O bán kính R.
Tập hợp tất cả những điểm M nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc vuông là mặt cầu đường kính AB.
Tập hợp tất cả những điểm M sao cho tổng bình phương các khoảng cách từ M tới hai điểm A, B cố định bằng một hằng số k2 là mặt cầu có tâm là trung điểm O của đoạn AB và bán kính R = ½ 2k2 – AB2
ĐỊNH NGHĨA KHỐI CẦU
Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O ; R) cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu S(O ; R) hoặc hình cầu S(O ; R). (Nói cách khác, khối cầu S(O ; R) là tập hợp các điểm M sao cho OM ≤ R).
Khối cầu là hình tròn xoay sinh bởi một hình tròn khi quay quanh đường thẳng chứa một đường kính của hình tròn đó.
Khái niệm
Nếu OA = R thì điểm A thuộc mặt cầu. Khi đó OA là bán kính mặt cầu.
Nếu OA < R thì điểm A nằm trong mặt cầu.
Nếu OA > R thì điểm A nằm ngoài mặt cầu.
Cho mặt cầu S(O ; R) và A là điểm bất kì trong không gian.
Giữa điểm A và mặt cầu có mấy vị trí tương đối xảy ra ?
Điểm nằm trong và ngoài mặt cầu
Biểu diễn khối cầu
Khi biểu diễn mặt cầu bằng phép chiếu vuông góc thì hình biểu diễn của mặt cầu là một đường tròn.
Khi biểu diễn mặt cầu bằng phép chiếu song song thì trong trường hợp tổng quát, hình biểu diễn của mặt cầu là một hình elip.
Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu
Kinh tuyến
Vĩ tuyến
Hai giao điểm của mặt cầu với trục được gọi là hai cực của mặt cầu.
Giao tuyến của mặt cầu với các nửa mặt phẳng có bờ là trục của mặt cầu được gọi là đường kinh tuyến của mặt cầu.
Giao tuyến(nếu có)của mặt cầu với các mặt phẳng vuông góc với trục gọi là vĩ tuyến của mặt cầu.
O là tâm mặt cầu, AB là dây cung của mặt cầu. Ta luôn có OA = OB.
Trong không gian, tập hợp các điểm O cách đều hai điểm A, B cho trước chính là mặt phẳng trung trực của đoạn AB.
A
B
O
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GiỮA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG
Cho mặt cầu S(O ; R) và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm O trên mp( P ). Khi đó d = OH là khoảng cách từ O tới mặt phẳng (P).
Hãy cho biết giữa mặt cầu và mặt phẳng có thể có những vị trí tương đối nào xảy ra ?
Nếu M là một điểm thuộc (P) thì OM > OH. OM > R.
Trường hợp 1: d > R
P
O
H
.
Vậy mọi điểm M trên mặt phẳng đều nằm ngoài mặt cầu . Do đó mặt phẳng và mặt cầu không có điểm chung.
Nếu M là một điểm thuộc (P) thì OM > OH. OM > R.
Trường hợp 1: d > R
O
H
.
Vậy mọi điểm M trên mặt phẳng đều nằm ngoài mặt cầu . Do đó mặt phẳng và mặt cầu không có điểm chung.
P
P
O
H
.
P
O
.
.
H
.
O
.
.
H
R
.
P
.
.
H
Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O ; R) tại điểm H là (P) vuông góc với bán kính OH tại tiếp điểm H đó.
Mp(P) cắt mặt cầu tại một điểm duy nhất H.
Khi đó ta nói mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu tại H.
Mp(P) là tiếp diện của mặt cầu tại điểm H. Điểm H gọi là điểm tiếp xúc (hoặc tiếp điểm) của (P) và mặt cầu.
P
.
O
H
.
.
M
R
Trường hợp 2: d = R
P
.
O
H
.
R
P
.
O
.
H
.
M
r
R
Trường hợp 3: d < R
Mp(P) cắt mặt cầu S(O ; R) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên mp(P) có tâm là H và có bán kính:
r = R2-d2
Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O ; R) tại điểm H là (P) vuông góc với bán kính OH tại tiếp điểm H đó.
Trường hợp 2: d = R
Khi d = 0 thì tâm của mặt cầu thuộc mặt phẳng (P) Ta có giao tuyến của (P) và mặt cầu là đường tròn tâm O bán kính r. Đường tròn này gọi là đường tròn lớn của mặt cầu.
.
Mặt phẳng (P) đi qua tâm O của mặt cầu gọi là mặt phẳng kính của mặt cầu đó.
r
M
O
ĐẶC BIỆT
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG
Cho mặt cầu S(O ; R) và đường thẳng Δ. Gọi H là hình chiếu của O trên Δ và d = OH là khoảng cách từ O tới Δ.
Hãy cho biết giữa mặt cầu và đường thẳng có thể có những vị trí tương đối nào xảy ra ?

CÂU HỎI
Cho đường thẳng ∆ và mặt cầu S(O;R)
B
A
O
(∆)
Hãy cho biết giữa mặt cầu và mặt phẳng có thể có những vị trí tương đối nào xảy ra ?
Gọi H là hình chiếu của O trên ∆
B
A
O
(∆)
h
Gọi H là hình chiếu của O trên ∆
B
A
O
Gọi H là hình chiếu của O trên ∆
B
A
O
Gọi H là hình chiếu của O trên ∆
B
A
O
Gọi H là hình chiếu của O trên ∆
B
A
O
(∆)
h
Nếu d > R thì Δ không cắt mặt cầu.
Nếu d = R thì Δ cắt mặt cầu tại một điểm duy nhất. Đường thẳng Δ và mặt cầu S(O ; R) có điểm chung duy nhất là H. Khi đó, ta nói đường thẳng Δ tiếp xúc với mặt cầu tại điểm H (Δ là tiếp tuyến của mặt cầu tại H). Điểm H gọi là điểm tiếp xúc (hoặc tiếp điểm) của Δ và mặt cầu.
Nếu d < R thì Δ cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt.
Có 3 trường hợp xảy ra
Có thể sử dụng các kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác và hệ thức lượng trong đường tròn trong mặt phẳng để giải toán
Chú ý
Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O;R) thì qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu. Khi đó:
Độ dài các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau.
Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu.
ĐỊNH LÍ
A nằm ngoài mặt cầu: tất cả các tiếp tuyến kẻ từ A tạo nên một mặt nón tròn xoay có đỉnh là A và có đường tròn đáy nằm trên mặt cầu.
A nằm trên mặt cầu: có vô số tiếp tuyến của mặt cầu đó, tất cả các tiếp tuyến này đều vuông góc với bán kính OA của mặt cầu tại A và đều nằm trên mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm A đó, mặt phẳng tiếp xúc này vuông góc với đường thẳng OA tại A.
Chú ý
DiỆN TÍCH MẶT CẦU VÀ THỂ TÍCH KHỐI CẦU
Mặt cầu bán kính R có diện tích là:
S = 4πR2
(Ta có diện tích đường tròn lớn của mặt cầu bán kính R là s = πR2 S = 4s = 4πR2)
Khối cầu bán kính R có thể tích là:
V = 4/3πR2
MẶT CẦU NGOẠI TiẾP VÀ NỘI TiẾP KHỐI ĐA DiỆN
Mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt cầu đó tiếp xúc với tất cả các mặt cua hình đa diện, còn nói mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu.
Khi mặt cầu nội tiếp (ngoại tiếp) hình đa diện, người ta cũng nói hình đa diện ngoại tiếp (nội tiếp) mặt cầu.
Mặt cầu nội tiếp hình trụ
O
I’
A’1
A’2
A’4
A3
A1
I
S
A2
A3
A4
O
d
A’3
A2
A4
A1
Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ
Muốn chứng minh mặt cầu ngoại tiếp 1 hình chóp hoặc 1 hình lăng trụ:
Chứng minh mặt cầu đó đi qua tất cả các đỉnh của hình chóp hoặc của hình lăng trụ.
Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp.
Chú ý:
Điều kiện cần và đủ để 1 hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của hình chóp đó có đường tròn ngoại tiếp.
Điều kiện cần và đủ để 1 hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp là hình lăng trụ đó phải là 1 hình lăng trụ đứng và có đáy là 1 đa giác có đường tròn ngoại tiếp.
O
A
O
A
O
A
B
M
R
O
R
r
O
R
H
O
H
O
R
O
Thực hiện
---oOo---

Tổ 1-12a7

---oOo---