Chương II. §1. Mặt cầu, khối cầu

CHƯƠNG II MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN
BÀI 1 MẶT CẦU, KHỐI CẦU
1. Định nghĩa mặt cầu
Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R không đổi gọi là mặt cầu có tâm O và bán kính bằng R
Mặt cầu như thế được kí hiệu S(O ; R).
Như vậy :
a) Nếu OA = R  A  S(O ; R). Khi đó đoạn thẳng OA cũng được gọi là bán kính của mặt cầu.
Nếu OA và OB là hai bán kính sao cho O, A, B thẳng hàng thì đoạn AB được gọi là đường kính.
b) Nếu OA < R thì ta nói rằng điểm A nằm trong đường tròn
d) Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O ; R) cùng các điểm nằm trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu S(O ; R) hoặc hình cầu S(O ; R). Như vậy, khối cầu S(O ; R) là tập hợp các điểm M sao cho OM ≤ R.
c) Nếu OA > R thì ta nói rằng điểm A nằm ngoài đường tròn
Các thuật ngữ :
Cho mặt cầu S(O ; R) và một điểm A
Một số ví dụ :
Ví dụ 2. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 2a2
2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu S(O ; R) và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu của O trên mp(P), gọi d là khoảng cách từ O tới mp(P) thì d = OH.
Nếu d = R thì mp(P) cắt mặt cầu tại một điểm duy nhất H
Nếu d > R thì mp(P) không cắt mặt cầu S(O ; R)
Bài toán 1
Mặt cầu đi qua mọi đỉnh của hình đa diện H gọi là mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện H và hình đa diện H gọi là nội tiếp mặt cầu đó.
Chứng minh rằng hình chóp nội tiếp một mặt cầu khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác nội tiếp một đường tròn.
3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu S(O ; R) và đường thẳng . Gọi H là hình chiếu của O trên  và d = OH là khoảng cách từ O tới  .
Hoàn toàn tương tự như trong trường hợp mặt cầu và mặt phẳng, ta có các kết luận sau :
Nếu d < R thì  cắt mặt cầu S(O ; R) tại hai điểm phân biệt.
Nếu d = R thì  cắt mặt cầu tại một điểm duy nhất H.
Nếu d > R thì  không cắt mặt cầu S(O ; R)
Bài toán 2. Hãy chứng minh rằng có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của một tứ diện đều ABCD cho trước.
Định lí
Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O ; R) thì qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu. Khi đó
Độ dài các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau.
Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu.
4. Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
Khái niệm về diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.
Các công thức
Mặt cầu bán kính R có diện tích là : S = 4R2
Khối cầu bán kính R có thể tích là : V = 4R3/3
BÀI 2 KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY
1 Định nghĩa
Trong không gian, cho hình H và đường thẳng . Hình gồm tất cả các đường tròn (CM) với M thuộc H được gọi là hình tròn xoay sinh bởi H khi quay quanh . Đường thẳng  gọi là trục của hình tròn xoay đó.
Khi hình H là một đường thì hình tròn xoay sinh bởi nó còn gọi là mặt tròn xoay.
2 . Một số ví dụ
Ví dụ 1.
Nếu hình H là đường tròn đường kính AB nằm trên đường thẳng  thì rõ ràng hình tròn xoay sinh bởi H khi quay quanh  là khối cầu đường kính AB.
Ta xét trường hợp H là đường tròn nằm trong cùng một mặt phẳng với đường thẳng  nhưng không cắt . Hình tròn sinh bởi đường tròn đó quay quanh  được gọi là mặt xuyến.
Ví dụ 2. Cho hai đường thẳng  và l chéo nhau. Xét hình tròn xoay sinh bởi đường thẳng l khi quay quanh .
BÀI 3 MẶT TRỤ, HÌNH TRỤ VÀ KHỐI TRỤ
1. Định nghĩa mặt trụ
Cho đường thẳng . Xét một đường thẳng l song song với , cách  một khoảng R
Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng l như thế khi quay quanh  được gọi là mặt trụ tròn xoay ( hoặc đơn giản là mặt trụ).
 gọi là trục của mặt trụ, l gọi là đường sinh của mặt trụ và R gọi là bán kính của mặt trụ.
2. Hình trụ và khối trụ
Cắt mặt trụ C trục , bán kính R bởi hai mặt phẳng phân biệt (P) và (P’) cùng vuông góc với , ta được giao tuyến là hai đường tròn (C) cà (C’).
Phần mặt trụ C nằm giữa hai mặt phẳng (P) và (P’) cùng với hai hình tròn xác định bởi (C ) và (C’) được gọi là hình trụ.
Hai đường tròn (C ) và (C’) gọi là hai đường tròn đáy, hai hình xác định bởi chúng gọi là hai mặt đáy của hình trụ, bán kính của chúng (bằng R ) gọi là bán kính của hình trụ. Khoảng cách giữa hai mặt đáy gọi là chiều cao của hình trụ.
Nếu gọi O và O’ là tâm của hai hình tròn đáy thì đoạn thẳng OO’ (nằm trên ) gọi là trục của hình trụ.
Phần mặt trụ nằm giữa hai đáy gọi là mặt xung quanh của hình trụ.
Với mỗi điểm M  (C), có một điểm M’  (C’) sao cho MM’ // OO’. Các đoạn thẳng như vậy gọi là đường sinh của hình trụ.
Hình trụ cùng với phần bên trong của nó được gọi là khối trụ.
Ví dụ 1. Hình trụ có bán kính R và chiều cao cũng bằng R. Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lượt là hai dây cung của hai đường tròn đáy, các cạnh AB và CD không phải là đường sinh của hình trụ. Tính cạnh của hình vuông đó.
3. Diện tích hình trụ và thể tích khối trụ
Một hình lăng trụ gọi là nội tiếp một hình trụ nều hai đáy của hình lăng trụ nội tiếp hai đường tròn đáy cùa hình trụ. Khi đó, ta còn nói hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ.
Diện tích xung quanh của hình trụ là giới hạn của dịên tích xung quanh của hình lăng trụ đều nội tiếp hình trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.
Thể tích của khối trụ (còn gọi là thể tích của hình trụ) là giới hạn của thể tích của hình lăng trụ đều nội tiếp hình trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.
Diện tích xung quanh của hình trụ bằng chu vi đáy nhân với chiều cao. Thể tích của khối trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.
Định nghĩa.
Ví dụ 2. Cho hình trụ C có bán kính R, trục OO’ bằng 2R và mặt cầu (S) có đường kính OO’
a) Hãy so sánh diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ.
b) Hãy so sánh diện tích mặt cầu và diện tích toàn phần của hình trụ (diện tích toàn phần của hình trụ là diện tích xung quanh và diện tích hai đáy của nó).
c) Hãy so sánh thể tích của khối trụ C và khối câu (S).
BÀI 4 MẶT NÓN, HÌNH NÓN VÀ KHỐI NÓN
1. Định nghĩa mặt nón
Cho đường thẳng . Xét một đường thẳng l cắt  tại O và không vuông góc với .
Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng l như thế khi quay quanh  gọi là mặt nón tròn xoay (hay đơn giản là mặt nón)
 gọi là trục của mặt nón. l gọi là đường sinh của mặt nón. O gọi là đỉnh của mặt nón.
Nếu gọi là góc giữa l và  thì 2 gọi là góc ở đỉnh của mặt nón (0< 2 < )
2. Hình nón và khối nón.
Cho mặt nón N với trục , đỉnh O và góc ở đỉnh 2. Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với  tại điểm I khác O. Mặt phẳng (P) cắt mặt nón theo một đưòng tròn (C ) có tâm I. Lại gọi (P’) là mặt phẳng vuông góc với  tại O. khi đó
Phần của mặt nón N giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (P’) cùng với hình tròn xác định bởi (C ) được gọi là hình nón.
Điểm O gọi là đỉnh của hình nón, đường tròn (C ) gọi là đường tròn đáy, hình tròn xác định bởi (C ) gọi là đáy của hình nón.