Chương II. §1. Mặt cầu, khối cầu

MẶT CẦU
CHUONG II: M?T C?U, M?T TR?, M?T NĨN
�1. M?T C?U, KH?I C?U
§1
M?T C?U, KH?I C?U
1.Định nghĩa mặt cầu
1. D?nh nghia: (SGK)
S(O ; R) = { M / OM = R}
Các thuật ngữ:
Cho mặt cầu S(O;R) và một điểm A nào đó :
A nằm trong mặt cầu
A nằm ngoài mặt cầu
d) Khối cầu hoặc hình cầu: S(O;R) = { M / OM ≤ R}
§1
M?T C?U, KH?I C?U
1.Định nghĩa mặt cầu
1. D?nh nghia: (SGK)
S(O ; R) = { M / OM = R}
Mặt cầu
Mặt cầu bên trong rỗng
Khối cầu (Hình cầu)
Khối cầu bên trong đặc
Ví dụ: quả bóng đá, quả bóng chuyền...
Ví dụ: viên bi, trái đất…
Ví dụ 1:
Gọi I là trung điểm đoạn AB, ta có:
 MI2−IA2=0
Mà IAkhông đổi, I cố định
Vậy tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm I bán kính IA tức là đường kính AB.
Giải:
 MI=IA
Cho hai điểm A, B cố định. Chứng minh rằng tập hợp các điểm m sao cho
là mặt cầu đường kính AB
Cách 1:
Cách 2:
Mà IAkhông đổi, I cố định
Do
MI = IA = IB
MB
nên MA
ta có:
Gọi I là trung điểm đoạn AB,
Vậy tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm I bán kính IA tức là đường kính AB.
.
M
I
§1
M?T C?U, KH?I C?U
1- Định nghĩa mặt cầu
2- Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu S(O;R) và mp(P), gọi d là khoảng cách từ O đến (P), H là hình chiếu của O lên (P). Khi đó:
* Nếu d < R thì(P) cắt S(O; R) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên (P) có tâm H và bán kính r =
* N?u d = R thì (P) c?t S(O; R) t?i m?t di?m duy nh?t H. Khi dĩ (P) g?i l� ti?p di?n, H l� ti?p di?m.
* N?u d >R thì(P) khơng c?t S(O;R)
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B cạnh AB = a,
SA = a và SA vu«ng gãc víi (ABC).
i. Chứng minh S, A, B, C cùng nằm trên một mặt cầu.
ii. Tìm tâm và bán kính mặt cầu đó.
Giải:
BC
Ta có: BC
Mặt khác: SA
Từ (1) và (2) : A và B cùng nhìn đoạn SC dưới một góc vuông nên S, A, B, C cùng nằm trên mặt cầu đường kính SC.
Tâm của mặt cầu là trung điểm I của SC và bán kính
BC
A
B
C
S
a
a
a
=>
SA
AB

BC
SB (1)
(SAB)
(ABC)
AC (2)
SA
R =
M?t c?u di qua m?i d?nh c?a hình da di?n (H) g?i l� m?t c?u ngo?i ti?p hình da di?n (H)
Ví dụ 3: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAC bằng 600. Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD.
Giải:
A
B
C
D
S
H
O
Vì SA=SB=SC nên mọi điểm nằm trênSH cách đều A,B,C
Gọi H là tâm của ABCD
Ta có :
Trong mp (SAH),đường trung trực của SA cắt SH tại O
Ta có : OS = OA=OB=OC=OD
Vậy : mặt cầu có tâm O , bán kính R= OS
I
Do tam giác SAC đều , nên O là trọng tâm của SAC
Vậy : R =OS=
§1
M?T C?U, KH?I C?U
Một số vấn đề cần chú ý qua bài học:
* Bài toán 1: Phương pháp chứng minh các điểm cùng thuộc một mặt cầu:

1) Chứng minh chúng cùng cách đều một điểm cố định( theo định nghĩa).

2) Chứng minh chúng cùng nhìn một đoạn thẳng cố định dưới một góc vuông ( theo ví dụ 1).
* Bài toán2: C�ch x�c d?nh t�m m?t c?u ngo?i ti?p hình chĩp
Bước 1: Xác định tâm đường tròn (I) ngoại tiếp đáy.
Bước 2: Vẽ đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng chứa đáy tại I.
Bước 3: Xác định giao điểm O của d với mp trung trực của một cạnh bờn l� tõm c?a m?t c?u.
Về nhà giải các bài tập 1, 2, 7 trang 45 (SGK)