Chương II. §1. Mặt cầu, khối cầu

CHƯƠNG 2 :

MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN
Chúng ta quan sát một số hình ảnh sau :
Hình ảnh trái đất
Hình ảnh mặt trăng
Hình ảnh quả bóng
Tất cả những hình ảnh trên là hình ảnh của mặt cầu
Khái niệm đường tròn trong mặt phẳng?
Vị trí tương đối của đường tròn với một điểm trong mặt phẳng?
CÂU HỎI
Đường tròn là tập hợp tất cả những điểm trong mặt phẳng cách đều một điểm O cố định cho trước một khoảng không đổi.
M là một điểm trên đường tròn khi OM = r
. M là một điểm trong đường tròn khi OM < r ;

. M là một điểm ngoaøi đường tròn khi OM > r ;


TRẢ LỜI
.
M
r
O
Bài 1: MẶT CẦU, KHỐI CẦU
1/. ĐỊNH NGHĨA
Cho một điểm O cố định và một số thực dương R.
Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách điểm O một khoảng bằng R được gọi là mặt cầu tâm O bán kính R.
Ký hiệu : S(O;R) hay viết tắt là (S)
Như vậy ta có : S(O;R) = {M / OM = R } .
A3
A2
A1
B
O
. Nếu OA < R thì điểm A nằm trong mặt cầu S(O;R)
. Nếu OA > R thì điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O;R)
@ Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O;R) và các điểm nằm trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu hay hình cầu S(O;R)
2/ Bán kính, đường kính của mặt cầu:
* Nếu điểm A nằm trên mặt cầu S(O;R)
thì đoạn thẳng OA được gọi là
bán kính mặt cầu (S).
* B đối xứng với A qua tâm O thì AB được gọi là đường kính của mặt cầu (S).
& Một số ví dụ :
* Ví dụ 1: Cho 2 điểm A,B cố định. Chứng minh rằng tập hợp các điểm M sao cho là mặt cầu đường kính AB
Giải : Gọi I là trung điểm của AB,ta có :
Như vậy : MI = IA = ½ AB = R
Do đó tập hợp các điểm M thỏa
là mặt cầu đường kính AB
* Ví dụ 2:( sgk )
Hãy cho biết tâm và bán kính của mặt cầu đường kính AB ?
& Một số ví dụ :
* Ví dụ 1: Cho 2 điểm A,B cố định. Chứng minh rằng tập hợp các điểm M sao cho là mặt cầu đường kính AB
Giải : Gọi I là trung điểm của AB,ta có :
Như vậy : MI = IA = ½ AB = R
Do đó tập hợp các điểm M thỏa
là mặt cầu đường kính AB
Hãy cho biết tâm và bán kính của mặt cầu đường kính AB ?
Ví dụ 2:
Cho tam giác ABC vuông tại B, DA (ABC)
a/ Xác định mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D
b/ Cho AB = 3a, BC = 4a, AD = 5a. Tính bán kính mặt cầu nói trên.
D
A
B
C
Giải:
a/ Ta có:
DA (ABC)
DA BC
Lại có: AB BC
nên BC DB.
Suy ra: DAC = DBC = 900
Vậy A,B,C,D nằm trên mặt cầu tâm O là trung điểm DC
O
2) Vị trí tương đối của một mặt cầu với mặt phẳng
I. Vị trí tương đối của một mặt cầu và một mặt phẳng:
Cho một mặt cầu S(O;R) và mp(P) bất kỳ.
Gọi H là h.chiếu của O /mp(P)
Khi đó OH = d ? O, mp(P) ?
H
R
Ta xét các trường hợp sau :
Khi đó mọi điểm M ? (P) thì OM>OH. Vậy mọi điểm của (P) đều nằm ngoài mặt cầu (S)
Vậy (S) ? (P) = ?
M
Nếu OH > R:
P
H
R
Khi đó điểm H ? (S).
M? (P), M khác H .
thì OM > OH = R .
Vậy (S) ? (P) = H
M
Điểm H gọi là tiếp điểm của (S) và (P)
Mặt phẳng (P) gọi là
tiếp diện của mặt cầu (S)
P
Nếu OH = R:
Ta nói (S) và (P) tiếp xúc nhau tại điểm H
Mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có mấy điểm chung
C(O;R) gọi là đường tròn lớn của mặt cầu S(O;R).
Vậy (S)?(P) = C(H,r)
Nếu OH < R:
Khi đó (P) và(S) có mấy điểm chung ?