Chương II. §1. Mặt cầu, khối cầu

Bài 1
MẶT CẦU, KHỐI CẦU
(TiÕt 4)
Mục tiêu
Về kiến thức: Nắm vững
Khái niệm: mặt cầu, khối cầu, mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
- Công thức tính thể tích khối cầu, diện tích mặt cầu.

Về kĩ năng: Nắm vững
Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Cách tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Cách tính thể tích khối cầu, diện tích mặt cầu
Câu hỏi 1
Nêu khái niệm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Điều kiện để một hình chóp nội tiếp trong một mặt cầu.
Phương pháp chung để xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Trả lời câu hỏi 1
Mặt cầu đi qua mọi đỉnh của hình chóp gọi là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình chóp gọi là nội tiếp mặt cầu đó.
Điều kiện để một hình chóp nội tiếp trong một mặt cầu là đáy của hình chóp là đa giác nội tiếp trong một đường tròn.
Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là giao của trục đường tròn ngoại tiếp đáy với mặt phẳng trung trực của một cạnh bên.
Câu hỏi 2
Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp sau.
(Chỉ cần vẽ hình)
a) Hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau.
b) Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều, SA ? (ABC).
c) Hình chóp tứ giác đều S.ABCD
d) Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, SAB là tam giác đều và nằm trong vuông góc với mặt phẳng đáy.
Trả lời câu hỏi 2
? M
?I
N?
Hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc
với nhau.
Trả lời câu hỏi 2
? M
?I
N?
?O
b) Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều, SA ? (ABC).
Trả lời câu hỏi 2
c) Hình chóp tứ giác đều S.ABCD
M.
.I
O

.
Trả lời câu hỏi 2
d) Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, SAB là tam giác đều và nằm trong vuông góc với mặt phẳng đáy.
M.
O
G.
.I
.
Câu hỏi 3
Cho tứ diện ABCD có AB?? BC, BC ? CD, CD ? AB.
Biết AB = a, BC = b, CD = c. Tính thể tích khối cầu và
diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Câu hỏi 4
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính thể tích khối cầu và
diện tích mặt ngoại tiếp tứ diện.
+) Ta có AB ?? CD, AB ? BD nên AB ? (BCD) suy ra AB ? BD. Tương tự: CD ? AC.
+) Gọi I là trung điểm của AC khi đó

IA = IB = IC = ID =

Do đó ABCD nội tiếp mặt cầu tâm I, bán kính
Trả lời câu hỏi 3
Cho tứ diện ABCD có AB?? BC, BC ? CD, CD ? AB. Biết AB = a, BC = b, CD = c. Tính thể tích khối cầu và diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
A
B
C
D
I
Diện tích mặt cầu:
Thể tích khối cầu:
Giải
Trả lời câu hỏi 4
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính thể diện tích, thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
+) Gọi M, N là trung điểm của CD và AB. O là trọng tâm của tam giác BCD. Suy ra AO ? (BCD), AO là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.
+) Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện suy ra I ? AO và IN ? AB.
Giải
Do hai tam giác ANI và AOB đồng dạng nên
Mặt cầu có bán kính
Thể tích khối cầu:
Diện tích mặt cầu:
Kiến thức cần nhớ
Mặt cầu đi qua mọi đỉnh của hình chóp gọi là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình chóp gọi là nội tiếp mặt cầu đó.
Điều kiện để một hình chóp nội tiếp trong một mặt cầu là đáy của hình chóp là đa giác nội tiếp trong một đường tròn.
Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là giao của trục đường tròn ngoại tiếp đáy với mặt phẳng trung trực của một cạnh bên.
- Thể tích khối cầu:
- Diện tích mặt cầu:
TRáI ĐấT
- Trái đất xinh đẹp mà chúng ta đang sống là hành tinh thứ ba trong hệ mặt trời.
- Đó là một khối cầu khổng lồ có bán kính khoảng 6.371 km
- Diện tích khoảng 510.072.000 km2 (trong đó đất liền chiếm khoảng 29,2�%, nước chiếm khoảng 70,8�%).
- Thể tích khoảng 1,0832073x1012 �km3 (Hơn 1 nghìn tỉ km3 )

TRáI ĐấT
-Người ta định vị các vị trí trên trái đất bởi các đường kinh tuyến và vĩ tuyến.
- Kinh tuyến�là một nửa vòng tròn trên bề mặt Trái Đất (nửa đường tròn lớn của mặt cầu), nối liền hai Địa cực, có độ dài khoảng 20.000�km, chỉ hướng bắc-nam và cắt thẳng góc với đường xích đạo.

TRáI ĐấT
- Đường kinh tuyến số 0 chạy qua đài quan sát thiên văn tại Greenwich�thuộc thủ đô Luân Đôn của nước Anh.

TRáI ĐấT
- Mặt phẳng của kinh tuyến 00 và kinh tuyến 180�, chia Trái Đất ra làm hai bán cầu - Bán cầu đông và Bán cầu tây. (Đó là một mặt phẳng kính của mặt cầu)

TRáI ĐấT
- Đường kinh tuyến 1800 chính là đường đổi ngày. Thực tế, đường đổi ngày không phải là một đường thẳng đọc kinh tuyến 180 độ, mà là một đường gấp khúc, nhằm cố gắng bảo đảm trên cùng một quốc gia không có 2 ngày cùng được tính. Theo quy định, khi các�phương tiện giao thông�đi ngang qua đường này, ngày tháng sẽ phải thay đổi. Đi từ bán cầu Tây�sang bán cầu Đông�qua đường này, tức là đi từ bên phải sang bên trái đường đổi ngày (cũng có nghĩa là đi từ phía đông sang phía tây qua nó), thì phải tăng 1�ngày. Đi từ bán cầu Đông sang bán cầu Tây, tức là đi từ bên trái sang bên phải của đường này, thì phải giảm 1 ngày.

TRáI ĐấT
-Vĩ tuyến�là một vòng tròn tưởng tượng nối tất cả các điểm có cùng vĩ độ. Trên Trái Đất, vòng tròn này có hướng từ đông sang tây. Một vĩ tuyến luôn vuông góc với một kinh tuyến�tại giao điểm giữa chúng. Các vĩ tuyến ở gần cực Trái Đất có�đường kính�nhỏ hơn.

TRáI ĐấT
- Có 5 vĩ tuyến đặc biệt trên�Trái Đất là:
1. Vòng Bắc Cực�(66� 33` 38" vĩ bắc)
2. Hạ chí tuyến �(23� 26` 22" vĩ bắc)
3. Xích đạo �(0� vĩ bắc, có bán kính khoảng 6.378 km)
4. Đông chí tuyến�(23� 26` 22" vĩ nam)
5. Vòng Nam Cực �(66� 33` 38" vĩ nam)

TRáI ĐấT
- Xích đạo chính là một đường tròn lớn của mặt cầu. Mặt phẳng xích đạo là một mặt phẳng kính của mặt cầu, chia Trái Đất thành hai bán cầu là Bắc Bán Cầu và Nam Bán Cầu
Câu hỏi 5
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SA ? (ABCD). Góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng 600. Tính thể tích khối cầu, diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Trả lời câu hỏi 5
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SA ? (ABCD). Góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng 600. Tính thể tích khối cầu, diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Giải
Ta có BC ? AB, BC ? SA ? BC ? (SAB) ? BC ? SB. Tương tự CD ? SD. Do đó các tam giác SBC, SAC, SDC vuông và cùng có SC là cạnh huyền.
Gọi I là trung điểm của AC thì IS = IA = IB = IC = ID. Do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Mặt cầu có bán kính
Theo bài ra thì góc SBA = 600.
Thể tích khối cầu:
Diện tích mặt cầu: