Chương II. §1. Khái niệm về mặt tròn xoay

l
A
C
D
B
D
A
B
C
Mặt trụ tròn xoay
?
Khối trụ tròn xoay
Hình trụ tròn xoay
(Sinh bởi đường l khi quay quanh ?)
(Sinh bởi miền chữ nhật ABCD khi quay quanh AB)
(Sinh bởi đường gấp khúc ABCD khi quay quanh AB)
Cho hai đường thẳng l và ? cắt nhau tại O và tạo thành một góc ?, trong đó 0o < ? < 90o
?
?
l
O
Cho đường thẳng l quay quanh ? (luôn tạo với ? một góc ? không đổi)
Hình 1
?
?
O
* Mặt tròn xoay sinh ra bởi đường thẳng l khi quay quanh ? gọi là mặt nón tròn xoay (gọi tắt là mặt nón)
* ? gọi là trục của mặt nón, l gọi là đường sinh của mặt nón
* Điểm O gọi là đỉnh của mặt nón
Cắt mặt nón bởi mặt phẳng
vuông góc với trục. Thiết diện
là hình gì ?
M
Cắt mặt nón bởi mặt phẳng
qua trục ?. Xác định giao của
mặt phẳng và mặt nón?
Điều kiện để một đường thẳng d
nằm trên mặt nón ?
l
?
Xét tam giác OAB vuông tại A và miền trong của nó.
Cho tam giác OAB và miền trong của nó quay quanh OA
Hình 2
Mỗi điểm của miền tam
giác khi quay quanh OA
sinh ra đường gì ?
Khi quay quanh OA:
* Mỗi điểm của miền tam giác sinh ra một đường tròn.Hình gồm tất cả những đường tròn đó gọi là một khối nón tròn xoay (gọi tắt là khối nón)
* Đoạn thẳng AB sinh ra hình tròn tâm A bán kính AB hình tròn đó gọi là mặt đáy của khối nón.
* Đoạn thẳng OB vạch ra một mặt tròn xoay gọi là mặt xung quanh của khối nón.
Hình gồm mặt đáy và mặt xung quanh của khối nón gọi là hình nón tròn xoay.
Phân biệt khối nón với hình nón ?
Xét hình thang ABB`A vuông tại A và A` miền trong của nó.
Cho hình thang ABB`A` và miền trong của nó quay quanh AA`
Hình 3
Khi quay quanh AA`:
* Mỗi điểm của hình thang và miền trong của nó sinh ra một đường tròn.Hình gồm tất cả những đường tròn đó gọi là một khối nón cụt tròn xoay (gọi tắt là khối nón cụt)
* Đường gấp khúc ABB`A` tạo thành hình nón cụt.
* Cạnh BB` tạo thành mặt xung quanh của hình nón cụt.
* Đoạn AB và A`B` tạo thành hai mặt đáy của hình nón cụt.
Phân biệt khối nón cụt với hình nón cụt ?
.
* Ví dụ1 (Sgk trang 118):
Cho hai điểm A, B cố định, một đường thẳng l thay đổi luôn luôn đi qua A, không vuông góc với AB và cách B một đoạn không đổi d. Chứng tỏ l luôn nằm trên một mặt nón.
A
B
H
l
?
d
Hình 4
* Hướng dẫn giải:
1. Điều kiện để đường thẳng l nằm trên một mặt nón ?
2. Hãy chứng minh góc ? không đổi ?
3. Đường thẳng l có những tính chất gì ?
Vậy l nằm trên mặt nón có trục là đường thẳng nào ?có đỉnh là điểm nào ?, góc ở đỉnh có độ lớn ?
* Ví dụ2 (Bài tập 3 sgk trang 119):
Trong mặt phẳng (P) cho điểm O cố định. Đường thẳng l thay đổi luôn đi qua O sao cho góc giữa l và mp(P) luôn luôn bằng ? không đổi. Chứng minh rằng l luôn nằm trên một mặt nón tròn xoay xác định.
l
O
?
P
* Hướng dẫn giải:
Hình 5
* Qua O kẻ đường thẳng ? ? mp(P)
1. ? là đường thẳng cố định ?
2. Chứng minh góc hợp bởi l và ? không đổi ?
3. Đường thẳng l có những tính chất nào ?
Đường thẳng l nằm trên mặt nón có trục là đường thẳng nào ?, có đỉnh là điểm nào ?, góc ở đỉnh ?
?
?
P
Q
O
A
B
M
I
x
y
z
Hướng dẫn giải bài tập:
Trong mp(P) cho một góc xOy. Một mp(Q) thay đổi luôn luôn vuông góc với đường phân giác của góc xOy cắt Ox và Oy tại A, B. Trong (Q) lấy điểm M luôn nhìn đoạn AB dưới một góc vuông. Chứng minh rằng các điểm M luôn nằm trên một mặt nón xác định
Cách giải:
+ Chứng minh OM luôn tạo với Oz một góc không đổi ?
+ Từ đó suy ra các điểm M luôn nằm trên một mặt nón xác định nào ?
Mặt trụ tròn xoay
Khối trụ tròn xoay
Hình trụ tròn xoay
Mặt nón tròn xoay
Khối nón tròn xoay
Hình nón tròn xoay
Khối nón cụt tròn xoay
Hình nón cụt tròn xoay
.