Chương II. §1. Khái niệm về mặt tròn xoay

Chương II: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Tiết 13 - Đ1: khái niệm về mặt tròn xoay
Trong không gian cho một mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ? và một đường C .
Khi quay mặt phẳng (P) quanh ? một góc 360o thì mỗi điểm M trên đường C vạch ra một đường tròn có tâm O thuộc ? và nằm trên mặt phẳng vuông góc với ?.
Khi quay mặt phẳng (P) quanh đường thẳng ? thì đường C sẽ tạo nên một hình được gọi là mặt tròn xoay.
CH: Nêu tên một số đồ vật có mặt ngoài có hình dạng là các mặt tròn xoay?
I. Sự tạo thành mặt tròn xoay
Một số vật thể có hình dạng mặt ngoài là mặt tròn xoay
Bình gốm
Chi tiết máy
Nón lá
Viên đạn
Nhiều đồ gốm có dạng tròn xoay, chúng được tạo ra nhờ có bàn xoay và đôi bàn tay khéo léo của người thợ gốm.
II. Mặt nón tròn xoay
1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng d và ? cắt nhau tại điểm O và tạo thành góc ? với 0o < ? < 90o.
Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh ? thì đường thẳng d sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O.
Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón.
Đường thẳng ?: gọi là trục
Đường thẳng d: gọi là đường sinh
Góc 2?: gọi là góc ở đỉnh của mặt nón đó.
Dùng mô hình
Cho tam giác OIM vông tại I.
Khi quay tam giác đó xung quanh cạnh góc vuông OI thì được gấp khúc OMI tạo thành một hình được gọi là hình nón tròn xoay, gọi tắt là hình nón.
Hình tròn tâm I sinh bởi các điểm thuộc cạnh IM khi IM quay quanh trục OI được gọi là mặt đáy của hình nón.
Điểm O gọi là đỉnh của hình nón.
Độ dài đoạn OI gọi là chiều cao của hình nón, đó cũng là khoảng cách từ O đến mặt phẳng đáy.
Độ dài đoạn OM gọi là đồ dài đường sinh của hình nón. Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh OM khi quay quanh trục OI gọi là mặt xung quanh của hình nón đó.
2. Hình nón tròn xoay và khối nón tròn xoay
a) Hình nón tròn xoay
Mô hình hình nón
b) Khối nón tròn xoay
Khối nón tròn xoay là phần không gian gới hạn bởi một hình nón tròn xoay và kể cả hình nón đó. Gọi tắt là khối nón
Những điểm không thuộc khối nón được gọi là những điểm ngoài của khối nón.
Những điểm thuộc khối nón nhưng không thuộc hình nón ứng với khối nón ấy được gọi là những điểm trong của khối nón.
Ta gọi đỉnh, mặt đáy, đường sinh của một hình nón theo thứ tự là đỉnh, mặt đáy, đường sinh của khối nón tương ứng.
3. Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay
Định nghĩa 1: Một hình chóp được gọi là nội tiếp một hình nón nếu đáy của hình chóp là đa giác nội tiếp đường tròn đáy của hình nón và đỉnh của hình chóp là đỉnh của hình nón. Khi đó ta còn nói hình nón ngoại tiếp hình chóp.
Định nghĩa 2: Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay là giới hạn của diện tích xung quanh của hình chóp đều nội tiếp hình nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.
Hình chóp nội tiếp hình nón
b) Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón
diện tích xung quanh của hình nón được tính theo công thức: Sxq = ?rl
Khi số cạnh đáy của hình chóp tăng lên vô hạn thì:
Diện tích toàn phần của hình nón bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy của hình nón.
Chú ý: Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón tròn xoay cũng là diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của khối nón được giới hạn bởi hình nón đó.
CH: Nếu cắt mặt xung quanh của hình nón tròn xoay theo một đường sinh rồi trải ra trên một mặt phẳng thì ta sẽ được một hình có dạng như thế nào?
Nếu cắt mặt xung quanh của hình nón tròn xoay theo một đường sinh rồi trải ra trên một mặt phẳng thì ta sẽ được một hình quạt có bán kính bằng độ dài đường sinh của hình nón và một cung tròn có độ dài bằng chu vi đường tròn đáy của hình nón.
Ta có thể xem diện tích hình quạt này là diện tích xung quanh của hình nón.
4. Thể tích khối nón tròn xoay
a) Định nghĩa
Thể tích của khối nón tròn xoay là giới hạn của thể tích khối chóp đều nội tiếp khối nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.
b) Công thức tính thể tích khối nón tròn xoay
CH: Dựa vào định nghĩa thể tích của khối nón tròn xoay xây dựng công thức tính thể tích của khối nón tròn xoay?
Gọi V là thể tích của khối nón tròn xoay có diện tích đáy B và chiều cao h, ta có công thức:
CH: Tương tự khái niệm diện tích xung quanh của hình nón, nêu khái niệm thể tích của khối nón
5.Ví dụ
Trong không gian cho tam giác vuông OMI vuông tại I, góc IOM bằng 30o và cạnh IM = a. Khi quay tam giác OMI quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình nón tròn xoay.
Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay đó.
Tính thể tích của khối nón tròn xoay được tạo nên bởi hình nón tròn xoay nói trên.
Lời giải:
Diện tích xung quanh của hình nón là:
Chiều cao của khối nón tròn xoay là:
Thể tích của khối nón tròn xoay là:
Bán kính đáy của hình nón là:
r = IM = a
Độ dài đường sinh của hình nón là:
l = OM = 2a
Sxq = ?rl = ?.a.2a = 2?a2.
III. Mặt trụ tròn xoay
1.Định nghĩa
Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng ? và l song song với nhau, cách nhau một khoảng bằng r.
Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh ? thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay gọi là mặt trụ tròn xoay. Gọi tắt là mặt trụ .
Đường thẳng ?: gọi là trục.
Đường thẳng l: gọi là đường sinh
r: là bán kính của mặt trụ đó.
Mô hình mặt trụ
2. Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay
a) Cho hình chữ nhật ABCD
Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh AB, thì đường gấp khúc ADCB tạo thành một hình được gọi là hình trụ tròn xoay hay còn được gọi tắt là hình trụ.
Khi quay quanh AB:
Hai cạnh AD, BC sẽ vạch ra hai hình tròn bằng nhau gọi là hai đáy của hình trụ, bán kính của chúng gọi là báng kính của hình trụ.
Độ dài đoạn CD gọi là độ dài đường sinh của hình trụ.
Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh CD khi quay quanh AB gọi là mặt xung quanh của hình trụ.
Khoảng cách AB giữa hai mặt phẳng song song chứa đáy là chiều cao của hình trụ.
Mô hình hình trụ
b) Khối trụ tròn xoay
Khối trụ tròn xoay là phần không gian gới hạn bởi một hình trụ tròn xoay và kể cả hình trụ đó. (Gọi tắt là khối trụ)
Những điểm không thuộc khối trụ được gọi là những điểm ngoài của khối trụ.
Những điểm thuộc khối trụ nhưng không thuộc hình trụ ứng với khối trụ ấy được gọi là những điểm trong của khối trụ.
Ta gọi mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của một hình trụ theo thứ tự là mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của khối trụ tương ứng.
3.Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay
a)
Định nghĩa 1: Một hình lăng trụ gọi là nội tiếp một hình trụ nếu hai đáy của hình lăng trụ nội tiếp hai đường tròn đáy của hình trụ. Khi đó ta còn nói hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ.
Định nghĩa 2: Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay là giới hạn của diện tích xung quanh của hình lăng trụ đều nội tiếp hình trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.
Lăng trụ nội tiếp hình trụ
b) Công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ.
Sxq = 2?rl
r: bán kính của hình trụ
l: Độ dài đường sinh của hình trụ
Diện tích toàn phần của hình trụ bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích của hai đáy của hình trụ.
Chú ý: Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ tròn xoay cũng là diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đó.
Nếu cắt mặt xung quanh của hình trụ theo một đường sinh rồi trải ra trên một mặt phẳng thì ta sẽ được một hình chữ nhật có một cạnh bằng đường sinh l và một cạnh bằng chu vi của đường tròn đáy. (Độ dài đường sinh l bằng chiều cao h của hình trụ)
Khi đó diện tích hình chữ nhật này này là diện tích xung quanh của hình trụ
4. Thể tích khối trụ tròn xoay
a) Định nghĩa:
Thể tích của khối trụ tròn xoay là giới hạn của thể tích khối lăng trụ đều nội tiếp khối trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.
b) Công thức tính thể tích khối trụ tròn xoay:
V = Bh
= ?r2h = ?r2l
r: bán kính của hình trụ
h: Chiều cao của hình trụ
l: Độ dài đường sinh của hình trụ
CH: Dựa vào định nghĩa thể tích của khối trụ xây dựng công thức tính thể tích của khối trụ?
CH: Tương tự khái niệm diện tích xung quanh của hình trụ, nêu khái niệm thể tích của khối trụ?
5.Ví dụ
Trong không gian, cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi I và H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB va CD. Khi quay hình vuông đó xung quanh trụ IH ta được một hình trụ tròn xoay.
Tính diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay đó.
Tính thể tích của khối trụ tròn xoay được tạo nên bởi hình trụ tròn xoay nói trên.
Lời giải:
Diện tích xung quanh của hình nón là:
b) Thể tích của khối trụ tròn xoay là:
a) Bán kính của hình trụ là:
Độ dài đường sinh của hình trụ là:
l = AD = a
Sxq = 2?rl
= ?a2
V = ?r2h
Qua bài học các em cần:
Nắm vững mặt tròn xoay được tạo thành như thế nào.
Nắm vững các yếu tố của mặt tròn xoay.
Phân biệt được các khái niệm:
Mặt nón tròn xoay, hình nón tròn xoay và khối nón tròn xoay.
Mặt trụ tròn xoay, hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay.
Nắm vững công thức tính diện tích xung quanh của hình nón, hình trụ.
Nắm vững công thức tính thể tích của khối nón, khối trụ.
Bài học đã kết thúc
Thân ái chào các em !