Chương II. §1. Khái niệm về mặt tròn xoay

Chương II. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU
Bài 1. KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY
Giáo viên: Nguyễn Công Huy
TT khối chóp:



B: là diện tích của mặt dáy.
h: là chiều cao của khối chóp hay khối lăng trụ.
r: là bán kính của đường tròn.
Trả lời:
1.Nhắc lại công thức tính thể tích khối chóp ?
2.Nhắc lại công thức tính thể tích khối lăng trụ ?
V = Bh
3. DT hình tròn:
2. TT khối lăng trụ:
3.Công thức tính diện tích của hình tròn?

Bài 1. KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY

(1). Mặt tròn xoay có hình dạng như thế nào?
Có gặp trong đời sống hay không?
Và trong thực tế người ta tạo ra chúng như thế nào?
I - SỰ TẠO THÀNH MẶT TRÒN XOAY
B�i 1.khái niệm về mặt tròn xoay
1. Hình dạng của mặt tròn xoay thường gặp trong đời sống:
Bình gốm
Chi tiết máy
Nón
Viên đạn
Chộn bỏt
Cỏi c?c
2. Trong thực tế người ta tạo ra chúng như thế nào?
- Nhiều đồ gốm có dạng tròn xoay, chúng được tạo ra nhờ có bàn xoay và đôi bàn tay khéo léo của người thợ gốm.
(2). Mặt tròn xoay được hình thành như thế nào trong lý thuyết?
Trong không gian cho mp(P) chứa đường thẳng Δ và một đường cong C. Khi quay mp (P) quanh đường thẳng Δ một góc 360 thì mỗi điểm M trên C vạch ra một đường tròn có tâm O thuộc Δ và nằm trên mp vuông góc với Δ. Như vậy khi quay mp (P) quanh đường thẳng Δ thì đường cong C sẽ tạo nên một hình gọi là mặt tròn xoay.
Đường C được gọi là đường sinh của mặt tròn xoay đó. Đường thẳng Δ được gọi là trục của mặt tròn xoay.
2.2
- Đường sinh và trục của mặt tròn xoay:
Đường sinh
Trục
(C)
Δ
Một số đồ vật mà mặt ngoài có hình dạng là các mặt tròn xoay
Nón lá
Bình gốm
Viên đạn
Chi ti?t mỏy
Cỏi c?c
Chộn bỏt
Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng d và Δ cắt nhau tại điểm O và tạo thành góc β với 0 < β < 90. Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh Δ thì đường thẳng d sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O. Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón. Đường thẳng Δ gọi là trục, đường thẳng d gọi là đường sinh và góc 2 β gọi là góc ở đỉnh của mặt nón.
II. MẶT NÓN TRÒN XOAY
1. Định nghĩa
β
Δ
2.3
MN tron xoay
O
M
I
a. Cho tam giác OIM vông tại I. Khi quay tam giỏc OIM quanh OI:
- Đoạn IM vạch ra một hình tròn gọi là mặt đáy của hình nón (khối nón)
- Đoạn OM vạch ra phần mặt tròn xoay gọi là mặt xung quanh của hình nón (khối nón)
- Điểm O gọi là đỉnh của hình nón (khối nón)
- Độ dài đoạn OI gọi là chiều cao của hình nón (khối nón)
- Độ dài đoạn OM gọi là độ dài đường sinh của hình nón (khối nón)
2. Hỡnh nún trũn xoay v� kh?i nún trũn xoay.
N.
Điểm trong
F.
Điểm ngoài
là phần không gian đựợc giới hạn bởi một hình nón tròn xoay kể cả hình nón đó.
+ Khối nón tròn xoay gọi tắt là khối nón.
b. Khối nón tròn xoay
- Nhắc lại KN về khối đa diện?
- Liên hệ với khối nón tròn xoay?
Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện kể cả hình đa diện đó.
a. Một hình chóp được gọi là nội tiếp hình nón nếu đa giác đáy của hình chóp nội tiếp đáy đường tròn của hình nón và đỉnh của hình chóp là đỉnh của hình nón. Khi đó ta nói hình nón ngoại tiếp hình chóp.
3. diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay
(?) Một đa giác nội tiếp một đường tròn khi nào?
Một đa giác nội tiếp một đường tròn khi tất cả các đỉnh của nó nằm trên đường tròn đó.
Định nghĩa:
Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay là giới hạn của diện tích xung quanh của hình chóp đều nội tiếp hình nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.
b. Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón
Diện tích xung quanh của hình nón được tính theo công thức:
Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay bằng một nửa tích độ dài của đường tròn đáy và độ dài đường sinh.
Diện tích toàn phần là diên tích xung quanh và diện tích của hình tròn đáy.
r: là bán kính đường tròn đáy
l: là đường sinh
Chú ý:
+ Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón tròn xoay cũng là diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của của khối nón được giới hạn bởi hình nón đó.
2.5
a. Định nghĩa
4. Thể tích khối nón tròn xoay
Thể tích khối nón tròn xoay là giới hạn của thể tích khối chóp đều nội tiếp khối nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.
b. Công thức tính thể tích khối nón tròn xoay
Ta biết thể tích khối chóp là:
B: là diện tích của mặt dáy.
h: là chiều cao của khối chóp.
Thể tích của khối nón tròn xoay được tính theo công thức sau:
B: là diện tích hình tròn đáy của khối nón
h: là chiều cao của khối nón.
Khi đó thể tích của khối nón tròn xoay là
Nếu hình tròn đáy có bán kính r thì
r: l� bỏn kớnh du?ng trũn dỏy
h: l� chi?u cao c?a kh?i nún
a) Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay đó.
b) Tính thể tích của khối nón tròn xoay được tạo nên bởi hình nón tròn xoay nói trên.
5. Ví dụ
Trong không gian cho tam giác OIM vuông tại I , góc và cạnh IM = a. Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OIM tạo thành một hình nón tròn xoay.
Giải
O
M
I
a) Tính diện tích
Xem kỹ đề bài và hình vẽ, hãy cho biết:
(i). Mặt đáy của khối nón là hình tròn có bán kính là đoạn nào?
(ii). Đường nào gọi là đường sinh?
(iii). Tính độ dài đường sinh?
Bán kính là đoạn: IM = a
Đường sinh là OM
Tam giác OIM vuông tại I, nên ta có:
(iv). Nhắc lại công thức tính diện tích xung quanh của hình nón?
Diện tích xung quanh của hình nón là:
r: là bán kính đường tròn đáy.
l: là đường sinh.
Thay các giá trị vừa tìm được của bán kính và đường sinh vào để tính diện tích này
Ta được:
Nhắc lại công thức tính thể tích của khối nón ?
b) Tính thể tích
Thể tích của khối nón tròn xoay là
r: là bán kính đường tròn đáy.
h: là chiều cao của khối nón.
Như vậy trong câu này ta cần tìm yếu tố nào ?
Ta cần tìm chiều cao h
Nhìn vào hình vẽ ta thấy h là bằng đoạn nào ?
h = OI
Tam giác OIM vuông tại I nên ta có
điều gì (theo định lý Pitago)?
Vậy thể tích cần tìm là
III. MẶT TRỤ TRÒN XOAY
1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng Δ và l song song với nhau, cách nhau một khoảng bằng r. Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh Δ thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay. Gọi tắt mặt trụ tròn xoay là mặt trụ. Đường thẳng Δ gọi là trục, đường thẳng l là đường sinh và r là bán kính của mặt trụ đó.
Δ
l
r
r
2.8
2. Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay
D
A
B
C
a) Xét hình chữ nhật ABCD. Khi quay hình đó xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh AB, thì đường gấp khúc ABCD tạo thành một hình được gọi là hình trụ tròn xoay hay còn gọi tắt là hình trụ (xem hình vẽ)
Δ
D
A
B
C
+ Bán kính của chúng gọi là bán kính của hình trụ.
Khi quay quanh AB:
+ Hai cạnh AD và BC sẽ vạch ra hai hình tròn bằng nhau gọi là hai đáy của hình trụ
+ Độ dài đoạn CD gọi là độ dài đường sinh của hình trụ.
+ Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh CD khi quay quanh AB gọi là mặt xung quanh của hình trụ.
+ Đoạn AB khoảng cáh giữa hai mặt đáy là chiều cao của hình trụ.
b) Khối trụ tròn xoay là phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ đó.
Camera hình trụ
+ Khối trụ tròn xoay gọi tắt là khối trụ.
3. Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay
a) Một hình lăng trụ gọi là nội tiếp một hình trụ nếu hai đáy của hình lăng trụ nội tiếp hai đường tròn đáy của hình trụ.
Khi đó ta nói hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ.
Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay là giới hạn của diện tích xung quanh của hình lăng trụ đều nội tiếp hình trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.
r
l
b) Công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ.
Gọi p là chu vi đáy của hình lăng trụ nội tiếp hình trụ
Thì diện tích tích xung quanh của hình lăng trụ đều là:
r
l
h là chiều cao của hình lăng trụ
Khi đó diện tích xung quanh của hình trụ được tính theo công thức:
Vậy: Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay bằng tích độ dài đường tròn đáy và độ dài đường sinh.
Độ dài đường tròn đáy là 2 r
Độ dài đường sinh là l
Chú ý:
+Tổng diện tích xung quanh và diện tích hai đáy là diện tích toàn phần của hình trụ:
+Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ tròn xoay cũng là diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đó.
+Nếu cắt mặt xung quanh của hình trụ theo một đường sinh, rồi trải ra trên một mặt phẳng thì ta sẽ được một hình chữ nhật có một cạnh bằng đường sinh l và một cạnh bằng chu vi đường tròn đáy. Dộ dài đuờng sinh l bằng chiều cao h của hình trụ. Khi đó diện tích hình chữ nhật bằng diện tích xung quanh của hình trụ.
r
l
2 r
r
r
4. Thể tích của khối trụ tròn xoay
a) Định nghĩa
b) Công thức tính thể tích khối trụ tròn xoay
Thể tích khối trụ tròn xoay là giới hạn của thể tích khối lăng trụ đều nội tiếp khối trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.
V = Bh
Nhắc lại thể tích của khối lăng trụ?
B là diện tích đáy của khối lăng trụ
h là chiều cao của khối lăng trụ.
Thể tích của khối lăng trụ:
Như vậy nếu đáy có bán kính bằng r thì
khi đó thể tích của khối trụ:
5. Ví dụ
Trong không gian, cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi I và H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Khi quay hình vuông đó quanh trục IH ta được một hình trụ tròn xoay.
a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay đó
b) Tính thể tích của khối trụ tròn xoay được giới hạn bởi hình trụ nói trên.
Giải
a) Tính diện tích
Nhắc lại công thức tính diện tích xung quanh của khối trụ tròn xoay?
A
I
B
C
D
a
H
Diện tích xung quanh của khối trụ tròn xoay:
r là bán kính đường tròn đáy
l là đường sinh.
A
I
B
C
D
a
H
Theo đề bài thì r bằng gì?
Và l bằng gì?
l = a
Khi đó:
b) Thể tích khối trụ tròn xoay được tính theo công thức:
r là bán kính đường tròn đáy
h là chiều cao của khối trụ.
Thể tích khối trụ tròn xoay được tính theo công thức nào?
Vậy ta có:
Qua bài học các bạn cần:
+ Biết được mặt tròn xoay được tạo thành như thế nào.
+ Nắm vững các yếu tố của mặt tròn xoay, như: đường sinh, trục, đỉnh, mặt đáy.
+ Biết phân biệt các khái niệm:
- Mặt nón tròn xoay, hình nón tròn xoay và khối nón tròn xoay.
- Mặt trụ tròn xoay, hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay.
+ Nắm đựơc các công thức:
- Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay:
- Thể tích của khối nón tròn xoay:
- Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay:
- Thể tích của khối trụ tròn xoay:
Bài tập về nhà: 2, 3, 5 trang 39.