Chương II. §1. Khái niệm về mặt tròn xoay

KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY
I) Sự tạo thành mặt tròn xoay
Trong không gian cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆ và một đường C . Khi quay mặt phẳng (P) quanh đường thẳng ∆ một góc 3600 thì đường C tạo nên một hình được gọi là mặt tròn xoay.
MỘT SỐ MINH HỌA
Các lọ hoa
MỘT SỐ MINH HỌA
MỘT SỐ MINH HỌA
Các lọ hoa
MỘT SỐ MINH HỌA
Cốc thủy tinh hình trụ
II) Mặt nón tròn xoay
1) Định nghĩa
Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng d và ∆ cắt nhau tại điểm O và tạo thành góc β với 00 <β< 900. Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh ∆ thì đường thẳng d sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O (gọi tắt là mặt nón)
Trục
Đường sinh
KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY
2) Hình nón tròn xoay và khối nón tròn xoay
II) Mặt nón tròn xoay
a.Hình nón tròn xoay
Cho tam giác OIM vuông tại I. Khi quay tam giác đó xung quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình gọi là hình nón tròn xoay. (gọi tắt là hình nón)
KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY
Đường sinh
Đường cao
Hình tròn đáy
2) Hình nón tròn xoay và khối nón tròn xoay
II) Mặt nón tròn xoay
b.Khối nón tròn xoay
Khối nón tròn xoay là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn xoay kể cả hình nón đó
KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY
KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY
II) Mặt nón tròn xoay
3) Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay
KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY
.
. O
II) Mặt nón tròn xoay
3) Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay
a. Định nghĩa
Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay là giới hạn của diện tích xung quanh của hình chóp đều nội tiếp hình nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.
KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY
II) Mặt nón tròn xoay
3) Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay
b.Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón
Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay bằng một nữa tích của độ dài đường tròn đáy và độ dài đường sinh.
Sxq =
Bán kính đường tròn đáy
Đường sinh
KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY
II) Mặt nón tròn xoay
Trong không gian cho tam giác OIM vuông tại I, góc IOM bằng 300 và cạnh IM = a. Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình nón tròn xoay.
Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón tròn xoay?
Ví dụ:
KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY
KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY
Câu 1: Trong các phát biểu dưới đây phát biểu nào cho ta hình nón tròn xoay?
Ba cạnh của một tam giác cân khi quay quanh trục đối xứng của nó.
Ba cạnh của một tam giác cân kể cả các điểm trong của tam giác đó khi quay quanh trục đối xứng của nó.
Một đỉnh của tam giác quay quanh một cạnh không chứa đỉnh đó
A
B
C
a
b
c
Câu 2: Trong các phát biểu dưới đây phát biểu nào cho ta khối tròn xoay?
Một tam giác vuông khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh góc vuông.
Ba cạnh của một tam giác cân kể cả các điểm thuộc miền trong của tam giác đó khi quay quanh trục đối xứng của nó.
Một đỉnh của tam giác quay quanh một cạnh không chứa đỉnh đó
A
B
C
a
b
c
4. Thể tích khối nón tròn xoay
a) Thể tích của khối nón tròn xoay là giới hạn của thể tích khối chóp đều nội tiếp khối nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.
b) Công thức tính thể tích của khối nón tròn xoay.
Gọi V là thể tích của khối nón tròn xoay có diện tích đáy B và chiều cao h, ta có công thức.
c
5. Ví dụ
Trong không gian cho tam giác vuông OIM vuông tại I, góc IOM bằng 30o và cạnh IM = a. Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình nón tròn xoay.
a) Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay đó.
b) Tính thể tích của khối nón tròn xoay được tạo nên bởi hình nón tròn xoay nói trên.
Giải
Diện tích xung quanh của hình nón là
a) Hình nón tròn xoay được tạo nên có bán kính đáy là a và có độ dài đường sinh là l = OM.
Trong không gian cho tam giác vuông OIM vuông tại I, góc IOM bằng 30o và cạnh IM = a. Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OIM tạo thành một hình nón tròn xoay.
a) Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay đó.
Giải
Diện tích hình tròn đáy là
b) Khối nón tròn xoay có chiều cao h=OI.
Trong không gian cho tam giác vuông OIM vuông tại I, góc IOM bằng 60o và cạnh IM = a. Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OIM tạo thành một hình nón tròn xoay.
Giải
b) Tính thể tích của khối nón tròn xoay được tạo nên bởi hình nón tròn xoay nói trên.
Thể tích khối tròn xoay
III. Mặt trụ tròn xoay
Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng d và l song song với nhau, cách nhau một khoảng bằng r. Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh d thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay. Người ta thường gọi tắt mặt trụ tròn xoay là mặt trụ. Đường thẳng d gọi là trục, đường thẳng l là đường sinh và r là bán kính của mặt trụ đó.
1. Định nghĩa
a) Cho hình chữ nhật ABCD. Khi quay hình đó xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh AB, thì đường gấp khúc ADCB tạo thành một hình gọi là hình trụ tròn xoay hay còn gọi tắt là hình trụ.
2. Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay
Khi quay quanh AB, hai cạnh AD và BC sẽ vạch ra hai hình tròn bằng nhau gọi là hai đáy của hình trụ. Bán kính của chúng gọi là bán kính của hình trụ. Độ dài CD gọi là độ dài đường sinh của hình trụ, phần măt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh CD khi quay quanh AB gọi là mặt xung quanh của hình trụ. Độ dài AB là chiều cao của hình trụ
b) Khối trụ tròn xoay là phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ đó.
3. Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay
a) Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay là giới hạn của diện tích xung quanh của hình lăng trụ đều nội tiếp hình trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.
b) Công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ.
Gọi p là chu vi đáy của hình lăng trụ đều nội tiếp hình trụ và h là chiều cao của hình lăng trụ đó thì diện tích xung quanh của hình lăng trụ đều là:
Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay.
4. Thể tích khối trụ tròn xoay
a) Thể tích của khối trụ tròn xoay là giới hạn của thể tích khối lăng trụ đều nội tiếp khối trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.
b) Công thức tính thể tích của khối trụ tròn xoay.
Gọi V là thể tích của khối trụ tròn xoay có diện tích đáy B và chiều cao h, ta có công thức.
c
5. Ví dụ
Trong không gian, cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi I và H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Khi quay hình vuông đó quanh trục IH ta được một hình trụ tròn xoay.
a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay đó.
b) Tính thể tích của khối trụ tròn xoay được giới hạn bởi hình trụ nói trên.
Giải
a) Hình trụ tròn xoay có bán kính đáy là
và đường sinh l=a. Do đó diện tích xung quanh của hình trụ là
a) Hình trụ tròn xoay có bán kính đáy là
và đường sinh l=a. Do đó diện tích xung quanh của hình trụ là
b) Thể tích của khối trụ tròn xoay
Giải