Chương I Vecto.






1. Các định nghĩa
( Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là
.
( Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó.
( Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu
.
( Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu
.
( Hai vectơ đgl cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
( Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
( Hai vectơ đgl bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.
Chú ý: + Ta còn sử dụng kí hiệu
để biểu diễn vectơ.
+ Qui ước: Vectơ
cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.
Mọi vectơ
đều bằng nhau.
2. Các phép toán trên vectơ
a) Tổng của hai vectơ
( Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có:
.
( Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có:
.
( Tính chất:
;
;

b) Hiệu của hai vectơ
( Vectơ đối của
là vectơ
sao cho
. Kí hiệu vectơ đối của
là
.
( Vectơ đối của
là
.
(
.
( Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có:
.
c) Tích của một vectơ với một số
( Cho vectơ
và số k ( R.
là một vectơ được xác định như sau:
+
cùng hướng với
nếu k ( 0,
ngược hướng với
nếu k < 0.
+
.
( Tính chất:
;
;


( k = 0 hoặc
.
( Điều kiện để hai vectơ cùng phương:

( Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng ( (k ( 0:
.
( Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ không cùng phương
và
tuỳ ý. Khi đó (! m, n ( R:
.
Chú ý:
( Hệ thức trung điểm đoạn thẳng:
M là trung điểm của đoạn thẳng AB (
(
(O tuỳ ý).
( Hệ thức trọng tâm tam giác:
G là trọng tâm (ABC (
(
(O tuỳ ý).



VẤN ĐỀ 1: Khái niệm vectơ

Cho tứ giác ABCD. Có thể xác định được bao nhiêu vectơ (khác
) có điểm đầu và điểm cuối là các điểm A, B, C, D ?
Cho (ABC có A(, B(, C( lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.
a) Chứng minh:
.
b) Tìm các vectơ bằng
.
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD, BC. Chứng minh:
.
Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh:
a)
.
b) Nếu
thì ABCD là hình chữ nhật.
Cho hai véc tơ
. Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng:
.
Cho (ABC đều cạnh a. Tính
.
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính
.
Cho (ABC đều cạnh a, trực tâm H. Tính độ dài của các vectơ
.
Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính độ dài của các vectơ
,
,
.

a)



VẤN ĐỀ 2: Chứng minh đẳng thức vectơ – Phân tích vectơ
Để chứng minh một đẳng thức vectơ hoặc phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương, ta thường sử dụng:
– Qui tắc ba điểm để phân tích các vectơ.
– Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác.
– Tính chất của các hình.

Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh:
a)
b)
.
Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh:
a) Nếu
thì
b)
.
c) Gọi G là trung điểm của IJ. Chứng minh:
.
d) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AC và BD; M, N