Chương I. Bài đọc thêm: Tính chất đơn điệu của hàm số

GIẢI TÍCH 12
Phần I : Tính đơn điệu của hàm số
Soạn theo sách mới gồm cơ bản và nâng cao
Nhấn space bar hay click chuột để xem dòng hay trang kế tiếp
June 14 ,2010
Phần I
Tính đơn điệu của hàm số
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I . Định nghĩa :
y
x
y
x
Đồ thị hàm số đồng biến
Đồ thị hàm số nghịch biến
Gọi I là một khoảng ,một đoạn hoặc nửa khoảng (a ; b) ; [ a ; b] ; ( - ∞ ; a]
; [b ; +∞) và f là hàm số xác định trên I.
* f(x) đồng biến trên I
* f(x) nghịch biến trên I
TÓM TẮT GIÁO KHOA
II .Định lý

x
f’(x)
f(x)
a
b
đồng biến
+
x
f’(x)
f (x)
a
b
nghịch biến
-
Chú ý : Đẳng thức f’(x) = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm rời rạc trên khoảng (a,b)
Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng I
a) Hàm số f đồng biến trên khoảng I
b) Hàm số f nghịch biến trên khoảng I
TÓM TẮT GIÁO KHOA
III . Định lý (điều kiện đủ)
Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng I
a) Nếu
thì hàm số f đồng biến trên khoảng I
b) Nếu
thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I
c) Nếu
thì hàm số f không đổi trên khoảng I
Chú ý :
1. Xét tính đơn điệu của hàm số f trên một đoạn hoặc nửa khoảng phải bổ sung thêm giả thiết “ Hàm số liên tục trên đoạn hay nửa khoảng đó “
Phương pháp giải bài toán về tính đơn điệu của hàm số
Phương pháp 1:
1.Bước 1 : Tìm miền xác định D của hàm số
2.Bước 2: Tính f’(x) và tìm nghiệm của phương trình f’(x) = 0
3. Lập bảng xét dấu f’(x)
Tổng kết các kết quả vào một bảng gọi là bảng biến thiên
Bài tập áp dụng
Bài tập 1: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số :
1. Tập xác định : D = R
Hướng dẫn:
Xét dấu y’
Bài tập áp dụng
Bài tập 1: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số :
1. Tập xác định : D = R
x
- 6x
̶ ∞
+∞
0
0
_
_
+
0
+
+
+
y’
y
0
0
+
_
_
Xem laị xét dấu đa thức - Lớp 10 và trình bày gọn lại
Hướng dẫn :
Kết luận : Khoảng đồng biến : (- ∞ ; 0 ) và nghịch biến : (0 ; +∞ )
Xét dấu y’
Bài tập áp dụng
Bài tập 2 : Tìm khoảng đơn điệu của hàm số:


Hướng dẫn :
* Tìm tập xác định : Hàm số xác định khi :
*
Xét dấu y’ - Dấu y’ phụ thuộc vào - x
x
y’
y
-1
1
0
0
̶
+
* Hàm số liên tục trên [-1 , 1] nên hàm số nghịch biến trên [0,1] và đồng biến trên [-1,0]
Bài tập áp dụng
Bài tập 3 : Tìm khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số :

Hướng dẫn:
*Hàm số xác định khi
Xét dấu y’ .Do không có qui tắc xét dấu một biểu thức có chứa căn nên học sinh có thể dùng cách giải bất phương trình
Học sinh giải 2 bpt , tìm nghiệm rồi suy ra khoảng ĐB và NB
Cách giải trên thường tốn nhiều thời gian và đòi hỏi độ chính xác cao
Tìm dấu y’ trên khoảng (1 , 2) - tương tự như trên
1.Điểm tới hạn : Điểm

.
Bổ sung kiến thức

ÁP DỤNG
Hàm số chỉ có một điểm tới hạn x =1
x
y’
y
-∞
1
2
0
0
y’(0) > 0 suy ra y’ > 0 trên (-∞,1)
+
_
Xét khoảng (-∞,1) lấy 1 giá trị túy ý - chẳng hạn x=0 và tính y’(0)
y’(0)
tại đó f’(x) bằng 0 hay không xác định
gọi là điểm tới hạn của hàm số nếu
2. Trong tập xác định D của hàm số f(x)
Giữa hai điểm tới kề nhau
f’(x) giữ nguyên một dấu
1. Bước 1 : Tìm tập (miền)xác định của hàm số.
Nếu y’(x) là các hàm số đa thức, phân thức … thông thường thì lập BẢNG XÉT DẤU y’(x)


Nếu y’(x) là các hàm số không thông thường (vô tỉ , lượng giác, mũ , logarit ,…) thì :
a) Tìm điểm tới hạn của hàm số.
b) Xác định dấu y’(x) trên từng khoảng hai điểm tới hạn kề nhau I (hay khoảng (-∞ , xₒ) hay (xₒ,+∞)) bằng cách tính y’(α) (α là một giá trị tự ta chọn thuộc khoảng trên ).Nếu
y’(α)> 0 => y’(x) >0 , với mọi x thuộc I
y’(α)< 0 => y’(x) <0 , với mọi x thuộc i

TÓM TẮT : Giải bài toán về tính đơn điệu

2. Bước 2: Tính y’(x) , Giải phương trình y’(x) = 0
Bài tập áp dụng
Bài tập 4 : Xét tính đơn điệu của hàm số :


Hướng dẫn
* Tập xác định : D = (0 , π)
Tìm điểm tới hạn của hàm số trên (0, π )
(hai điểm tới hạn)
x
y’
y
0
π
0
0
Xét (0, 7π/12).Tính y’(π/2) =
+
Bài tập áp dụng







π
y’
+
+
0
0
-
0
Kết luận :
1. Hàm số đồng biến trên
2. Hàm số nghịch biến trên
x
y
* Xét :
* Xét
Bài tập áp dụng
Bài tập 5 : Chứng minh bất đẳng thức :

Hướng dẫn :
0
π/2
0
x
y’
y
+
0
(học sinh thử giải thích !)
Ta đi chứng minh
=> f(x) liên tục trên
và có f’(x) > 0 trên
=> f(x) đồng biến trên
Bài toán về tính đơn điệu của hàm số có chứa tham số
Loại 1: Tìm giá trị m sao cho hàm số đồng biến (hay nghịch biến) trên R
Thông thường f’(x) là một tam thức bậc 2
f(x) đồng biến trên R
f(x) nghịch biến trên R
Bài tập 6: Định m để hàm số
đồng biến trên R
Hướng dẫn
Bài toán về tính đơn điệu của hàm số có chứa tham số
Bài tập 7: Với giá trị nào của m , hàm số
đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó?
Hướng dẫn:
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi
khoảng
* Nếu m > 0
x
y’
y
- ∞
1
+∞
0
0
+
+
_
_
Theo bảng biến thiên với m < 0 hàm số có 2 khoảng nghịch biến nên không thỏa điều kiện bài toán
Đáp số :
*Nếu
Bài tập
Tính đơn điệu của hàm số
Bài tập 1
a) Chứng minh rằng hàm số
đồng biến trên
nửa khoảng
b) Chứng minh rằng :
với mọi
Hướng dẫn
a) Hàm số f liên tục trên nửa khoảng
Vậy hàm số đồng biến trên nửa khoảng
b) Từ a)
Xét hàm số :
Hàm số g(x) liên tục trên
Bài tập 1
(vì
Do đó hàm số g(x) đồng
biến trên
Dùng định nghĩa
g(x) đồng biến trên I
Chú ý :
Vậy :
Bài tập 2
Chứng minh bất đẳng thức sau:
Hướng dẫn
Ta thấy có : acosa - sina , bcosb - sinb và cần suy ra đây là giá
trị của hàm số :
tại x = a và x = b
Vậy phải cm f(x) nghịch biến trên (0,π)
Ta có :
Vậy f(x) nghịch biến trên (0 ; π)
Biên tâp tập PPS này với hy vọng các bạn học sinh rèn luyện được khả năng tự học và tự mở rộng vấn đề . Chúc các bạn thành công.
Phần góp ý và chỉnh sửa xin các bạn comment bên dưới chiếu hình trực tuyến


Đón xem phần 2 : CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ