Chương I. Bài đọc thêm: Cung lồi, cung lõm và điểm uốn

trường thpt bán công cửa lò
Nguyễn hồng hải
§4. TÍNH LỒI, LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ
§4. TÍNH LỒI, LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ
►Kiểm tra bài cũ.
T×m ®¹o hµm cÊp 2 cña c¸c hµm sè:



§¸p ¸n:





Cửa Lò, ngày 22/06/2007
1. Khái niệm về tính lồi, lõm và điểm uốn.
● Hàm số y = f(x).
● Khái niệm hình học:
♦ Tại mọi điểm của cung AC tiếp tuyến luôn ở phía trên của cung AC.
→ cung AC là một cung lồi.
→ (a;c) là một khoảng lồi của đồ thị
y = f(x).
♦ Tại mọi điểm của cung CB tiếp tuyến luôn ở phía dưới của cung CB.
→ cung CB là một cung lõm.
→ (c;b) là một khoảng lõm của đồ thị y = f(x).
♦ Điểm phân cách giữa cung lồi và cung lõm được gọi là điểm uốn.
→ Điểm C là một điểm uốn.
Chú ý: Tại điểm uốn C tiếp tuyến phải xuyên qua đồ thị.
1. Khái niệm về tính lồi, lõm và điểm uốn.
● Hình ảnh và ứng dụng của tính lồi lõm và điểm uốn:
☻Trong tự nhiên:
♦ Các dòng khí trong không khí chuyển động tạo thành gió. Gió tác động lên cát, tạo nên những đường cong uốn lượn hết sức đẹp mắt. Những hình ảnh này có thể nhìn thấy ở trên các sa mạc. Ví dụ ở nước ta có vùng Quảng Bình, Quảng Trị. Thế giới có sa mạc Sahara …
♦ Gió và sự dịch chuyển của các tầng địa chất cũng như các dòng chảy trong lòng biển tao ra năng lượng cho các ngọn sóng. Chuyển động của sóng có hình nhấp nhô, lúc trồi lên (lồi), lúc võng xuống (lõm).
♦ Cá heo bơi trong đại dương. Báo chạy trong rừng Amazon hay trên đồng cỏ châu Phi. Ngựa đua hay là chó săn ..v..v.. Tất cả đều là những động vật có tốc độ cao phù hợp với cuộc sống của nó. Vì thế hình dáng cơ thể của chúng đều bé ở phần đầu, phình to ở phần ngực và nhỏ về phần sau, nhằm đảm bảo có tốc độ cao nhất.
♦ Trong tự nhiên và trong đời sống, ta còn có thể nhìn thấy những hình ảnh uốn lượn, thể hiện tính lồi lõm như đồi núi, đường sá, thạch nhũ trong hang động, các hình ảnh trang trí nghệ thuật ..v..v. Vậy những ứng dụng của nó trong kỹ thuật thì như thế nào?
☻Trong kỹ thuật:
♦ Những hình ảnh đại diện là máy bay ném bom B2, cầu treo vượt biển ở Mỹ.
+ Máy bay bay với tốc độ cực cao, nên đòi hỏi tính khí động học phải cao. Vì vậy, hình dáng ôvan bên ngoài của thân máy bay đảm bảo giảm tối đa sức cản của không khí cũng như các yêu cầu kỹ thuật khác để có được tốc độ theo ý muốn của người chế tạo ra nó.
+ Vào cùng một thời điểm có hàng ngàn xe ôtô đi trên cầu. Với số lượng xe lớn, kéo theo sức nặng mà cầu phải chịu cũng rất lớn. Vì thế mà người ta làm thành nhiều nhịp cầu, giữa 2 trụ cầu có dây treo võng xuống. Dây này được nối vào thành ở mặt cầu bằng các dây nhỏ hơn. Mục đích là để truyền sức nặng trên cầu lên các trụ cầu.
2. Dấu hiệu lồi, lõm và điểm uốn.
Dấu hiệu lồi, lõm (thừa nhận không chứng minh):
♦ Định lý 1: Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng (a;b).
1). Nếu f”(x)<0 với mọi x Є (a;b) thì đồ thị của hàm số lồi trên khoảng đó.
2). Nếu f”(x)>0 với mọi x Є (a;b) thì đồ thị của hàm số lõm trên khoảng đó.
Dấu hiệu điểm uốn (có chứng minh):
♦ Định lý 2: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên một lân cận nào đó của điểm x0 và có đạo hàm tới cấp hai trong lân cận đó (có thể trừ tại điểm x0). Nếu đạo hàm cấp hai đổi dấu khi x đi qua x0 thì điểm M0(x0;f(x0)) là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho.
Dấu hiệu điểm uốn (có chứng minh):
♦ Định lý 2: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên một lân cận nào đó của điểm x0 và có đạo hàm tới cấp hai trong lân cận đó (có thể trừ tại điểm x0). Nếu đạo hàm cấp hai đổi dấu khi x đi qua x0 thì điểm M0 (x0 ;f(x0 )) là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho.
2. Dấu hiệu lồi, lõm và điểm uốn.
Giả sử f”(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 . Thế thì:
Chứng minh:
+ Với x+ Với x>x0 và x đủ gần x0 ta có f”(x)>0, do đó đồ thị của hàm số đã cho lõi bên phải điểm M0 (x0 ;f(x0 )).
Vậy điểm M0 (x0 ;f(x0 )) là điểm uốn.
Chứng minh tương tự cho trường hợp f”(x) đổi dấu từ dương sang âm.
2. Dấu hiệu lồi, lõm và điểm uốn.
Dấu hiệu điểm uốn (có chứng minh):
♦ Định lý 2: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên một lân cận nào đó của điểm x0 và có đạo hàm tới cấp hai trong lân cận đó (có thể trừ tại điểm x0). Nếu đạo hàm cấp hai đổi dấu khi x đi qua x0 thì điểm M0(x0;f(x0)) là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho.
Nhận xét: Đồ thị (C) của hàm số y=f(x) có điểm uốn M(x0; y0) thì:
M ? (C)
f"(x0) = 0 hoặc f"(x0) không xác định.
►Các bài toán minh họa.
Ví dụ 1. Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số
Giải. Tập xác định: R.
Bảng xét dấu của y”:
+
-
Ví dụ 2. Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số
Giải. Tập xác định: R{0}
Bảng xét dấu của y”:
-
+
lồi
lõm
y = ax3 + bx2 + x + 1 .Thế thì a + b =
Ví dụ 2: Biết I(1;-2) là điểm uốn của đồ thị hàm số:
-4;
-2;
0;
2;
4;
Đáp số khác

Ví dụ 3: Có bao nhiêu giá trị m nguyên để đồ thị hàm số : y=x4-2mx3+6mx2 +(m+1)x-4 không có điểm uốn.
2;
3;
4;
5;
Vô số;
Đáp số khác

Để đồ thị không có điểm uốn thì y" không đổi dấu trên R ? ?` = m2-4m ? 0
? 0 ? m ? 4
Vì m nguyên nên m=0; 1; 2; 3; 4