Chương I. §5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Bài 5 :
Biên soạn :
Phạm Quốc Khánh
Chương trình thay sách Toán THPT của Bộ GD-ĐT 2008
I - SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ
1. Tập xác định :
Tìm tập xác định của hàm số.
2. Sự biến thiên :
Xét chiều biến thiên của hàm số.
+ Tính đạo hàm y’.
+ Tìm các điểm tại đó y’ bằng 0 hoặc không xác định.
+ Xét dấu y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
Tìm cực trị.
Tìm các giới hạn tại vô cực , các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).
Lập bảng biến thiên ( Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên)
3. Đồ thị :
Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị.
Chú ý :
Nếu hàm số tuần hoàn với chu kỳ T thì chỉ cần khảo sát trên 1 chu kỳ
sau tịnh tiến sang chu kỳ khác
2. Nên tính thêm tọa độ 1 số điểm (giao đồ thị với các trục tọa độ)
3. Nên chú ý tính chẵn , lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ chính xác
II - KHẢO SÁT HÀM SỐ ĐA THỨC VÀ HÀM PHÂN THỨC
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số đã học theo sơ đồ trên
y = ax + b và y = a x2 + b x + c
y = ax + b
1. Tìm tập xác định của hàm số. x  R
2. Sự biến thiên
+ y’ = a  y’ > 0 ( y’ < 0) .
. Các giới hạn :
Bảng biến thiên :
x
-∞
-b/a
+∞
y’
y
0
+
+
+∞
-∞
3. Đồ thị
-b/a
b
y = a x2 + b x + c
1. Tìm tập xác định của hàm số. x  R
2. Sự biến thiên
+ y’ =2 ax + b  y’ = 0  x = -b/2a.
Bảng biến thiên :
x
-∞
-b/2a
y’
y
y(-b/2a)
─
+
-∞
+∞
0
-∞
3. Đồ thị
-b/2a
y
1. Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d ; (a ≠ 0) :
Ví dụ 1 .
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số : y = x3 + 3 x2 – 4
Giải .
1. Tập xác định của hàm số. x  R
2. Sự biến thiên
Xét chiều biến thiên của hàm số.
+ Tính đạo hàm y’ = 3x2 + 6x

y’ = 0  .
+ (-∞ ; -2) và (0 ; +∞) hàm đồng biến
(-2 ; 0) hàm nghịch biến.
Cực trị .
+ cực đại ( -2 ; 0) ; cực tiểu ( 0 ; - 4)
Giới hạn .
Bảng biến thiên .
x
- ∞
y’
y
+ ∞
0
0
+
+

- ∞
+ ∞
3. Đồ thị
+ giải x3 + 3x2 - 4 = 0
 ( -2 ; 0) và (1 ; 0)
0
y
x
|
|
|
1
-1
-2
-4 --
-2 --
+ Tâm đối xứng :
 ( -1 ; -2)
Giải y’’ = 0
*Ví dụ minh họa để so sánh .
Khảo sát hàm số : y = - x 3 + 3 x2 - 4 và y = x3 + 3x2 - 4
x
- ∞
y’
y
+ ∞
0
0
─
─
+
- ∞
+ ∞
Bảng biến thiên .
y = - x 3 + 3 x2 - 4
x
- ∞
y’
y
+ ∞
0
0
+
+

+ ∞
- ∞
y = x 3 + 3 x2 - 4
Đồ thị .
0
y
x
|
|
|
1
-1
-2
-4 --
-2 --
0
y
x
|
|
|
2
1
-1
-4 --
-2 --
+ Chuyển trang coi và nhận xét ….
Đồ thị hàm sô y = x3 + 3x2 – 4 và đồ thị hàm số : y = - x 3 + 3 x2 - 4 trên cùng 1 hệ trục tọa độ
0
x
y
|
|
|
|
-2
-1
1
2
-2 --
-4 --
y = x3 + 3x2 - 4
y = - x3 + 3x2 - 4
+ Cho nhận xét ….?????
Ví dụ 2 .
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số : y =- x3 + 3 x2 – 4x + 2
Giải .
1. Tập xác định của hàm số. x  R
2. Sự biến thiên
Xét chiều biến thiên của hàm số.
+ Tính đạo hàm y’ = - 3x2 + 6x - 4
y’ < 0 .
+) hàm luôn nghịch biếntrên R
Giới hạn .
3. Đồ thị
+ giải
-x3 + 3x2 – 4x + 2 = 0
 (1 ; 0)
0
y
x
|
|
2
1
-2 --
-1 --
+ Tâm đối xứng :
 (1 ; 0)
Giải y’’ = 0
Bảng biến thiên .
x
- ∞
y’
y
+ ∞
─

- ∞
+ ∞
+ cho x = 0  (0 ; 2)
1 --
2 --
* Dạng của đồ thị hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)
Phương trình
y’ = 0 có 2
nghiệm riêng
Phương trình
y’ = 0 có
nghiệm kép
Phương trình
y’ = 0
vô nghiệm
a > 0
a < 0
Ví dụ minh họa .
Khảo sát hàm số :
Giải .
1. Tìm tập xác định của hàm số. x  R
2. Sự biến thiên
+ Tính đạo hàm y’ = x2 - 2x + 1
y’ = 0  x = 1
+ y’ > 0  x ≠ 1  y luôn đồng biến
Giới hạn .
Bảng biến thiên .
x
- ∞
y’
y
+ ∞
+
+
- ∞
+ ∞
1
0
4/3
3. Đồ thị
0
y
x
|
1
1 --
4/3 --
+ giải
x = 0  (0 ; 1)
Ví dụ minh họa .
Cho hàm số :
(m là tham số)
a) Xác định m để hàm số có điểm cực đại là x = - 1
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu ứng với m vừa tìm được .
Giải :
a) Tìm m ?
+) hàm số có cực đại tại x = -1 thõa
b) Phương trình đường thẳng qua 2 cực trị
+) hàm số có cực đại
cực tiểu
+) Phương trình đường thẳng qua 2 điểm
Chú ý :
Có thể từ bài đó thêm các câu hỏi :
c) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoanh tại x = - 2
d) Tìm m để y’’(x) > 6x ; giải phương trình y’’(cosx) = 2m
2. Hàm số y = ax4 + bx2 + c ; (a ≠ 0) :
Ví dụ 3 .
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số : y = x4 - 2 x2 – 3
Giải .
1. Tập xác định của hàm số. x  R
2. Sự biến thiên
Xét chiều biến thiên của hàm số.
+ Tính đạo hàm y’ = 4x3 - 4x

y’ = 0 
+ (-∞ ; -1) và (0 ; 1) hàm nghịch biến
(-1 ; 0) và (1 ; +∞) hàm đồng biến.
Cực trị .
+ cực tiểu (  1 ; - 4) ; cực đại ( 0 ; - 3)
Giới hạn .
Bảng biến thiên .
x
- ∞
y’
y
+ ∞
0
0
─
─
+
+ ∞
+ ∞
3. Đồ thị
0
y
x
|
|
|
1
-1
-4 --
-3 --
0
+
*Ví dụ .
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số : y = - x4 + 2 x2 + 3
Giải .
1. Tập xác định của hàm số. x  R
2. Sự biến thiên
Xét chiều biến thiên của hàm số.
+ Tính đạo hàm y’ = - 4x3 + 4x

y’ = 0 
+ (-∞ ; -1) và (0 ; 1) hàm đồng biến
(-1 ; 0) và (1 ; +∞) hàm nghịch biến.
Cực trị .
+ cực đại (  1 ; 4) ; cực tiểu ( 0 ; 3)
Giới hạn .
Bảng biến thiên .
x
- ∞
y’
y
+ ∞
0
0
+
+
─
- ∞
- ∞
3. Đồ thị
0
y
x
|
|
1
-1
4 --
3 --
0
─
Bằng đồ thị biện luận số nghiệm pt - x4 + 2 x2 + 3 = m
0
y
x
|
|
1
-1
4 --
3 --
Bằng đồ thị biện luận số nghiệm pt - x4 + 2 x2 + 3 = m
y = - x4 + 2x2 + 3
+ gọi y = - x4 + 2x2 + 3 và y1 = m
+ Trên đồ thị giao của y và y1 là số nghiệm của phương trình
y1 = m
m
Thứ tự theo hình có kết luận sau :
+ m < 3  y cắt y1 tại 2 điểm riêng nên
phương trình có 2 nghiệm trái dấu nhau
+ m = 3  y cắt y1 tại 3 điểm nên
phương trình có 3 nghiệm trong đó có
nghiệm kép x = 0
+ 3 < m < 4  y cắt y1 tại 4 điểm nên
phương trình có 4 nghiệm riêng
+ m = 4  y cắt y1 tại 2 điểm nên
phương trình có 2 nghiệm kép
+ m > 4  y không cắt y1 nên phương trình vô nghiệm
Ví dụ 4 .
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số :
Giải .
1. Tập xác định của hàm số. x  R
2. Sự biến thiên
Xét chiều biến thiên của hàm số.
+ Tính đạo hàm y’ =- 2x3 - 2x

y’ = 0 
+ (-∞ ; 0) ; y’ > 0 hàm đồng biến
và (0 ; +∞) hàm nghịch biến.
Cực trị .
+ cực đại ( 0 ; 3/2)
Giới hạn .
Bảng biến thiên .
x
- ∞
y’
y
+ ∞
0
─
+
- ∞
- ∞
3. Đồ thị
0
y
x
|
3/2 --
|
1
-1
Đồ thị cắt trục tọa độ
( 1 ; 0) và (0 ; 3/2)
y(x) = y(-x)
hàm chẵn
* Dạng của đồ thị hàm số bậc ba y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0)
Phương trình
y’ = 0 có 3
nghiệm riêng
Phương trình
y’ = 0 có
một nghiệm
a > 0
a < 0
Ví dụ minh họa .
Lấy 1 ví dụ minh họa hàm số dạng y = ax4 + bx2 + c mà phương trình y’(x) = 0 chỉ có 1 nghiệm :
Giải .
Căn cứ là : y’ = 4ax3 + 2b x = 2x ( 2ax2 + b) :
Để y’ (x) = 0 chỉ có 1 nghiệm duy nhất thì 2ax2 + b = 0 vô nghiệm
Vậy chỉ cần a.b > 0
Ví dụ thực : Khảo sát và vẽ đồ thị y = 3x4 + 2x2 – 5
Có thể nêu nhiều ví dụ và tính y’ = 0 có bao nhiêu nghiệm ?
* Ví dụ minh họa .
Cho hàm số y = - x4 + 2m x2 – 2m + 1 ( m tham số) (Cm)
a) Biện luận theo m số cực trị của hàm số
b) Với giá trị nào của m thì (Cm) cắt trục hoành ?
Giải .
a) Biện luận theo m số cực trị của hàm số
Hàm số có cực trị trên R khi y’ = 0 có nghiệm
y’ = - 4x3 + 4mx = 4x (-x2 + m)
Biện luận số nghiệm của y’ (x) = 0
+ m < 0 thì (Cm) có 1 cực trị tại x = 0
+ m = 0 thì (Cm) có 1 cực đại tại x = 0
+ m > 0 thì (Cm) có nhiều nhất 3 cực trị
b) Tìm m để (Cm) cắt trục hoành ?
Điều đó nghĩa là y(x) = 0 có nghiệm
Xét ’ = m2 + (1 – 2m) = (m – 1)2 > 0
Vậy phương trình luôn có nghiệm
với mọi m
3. Hàm số :
Ví dụ 5 .
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số :
Giải .
1. Tập xác định của hàm số. x ≠ - 1
2. Sự biến thiên
Xét chiều biến thiên của hàm số.
+ Tính đạo hàm
+ (-∞ ; -1) và (-1 ; +∞) hàm nghịch biến
Cực trị .
+ hàm số không có cực trị
Giới hạn .
Bảng biến thiên .
x
- ∞
y’
y
+ ∞
─
─
-1
+ ∞
3. Đồ thị
0
y
x
|
|
|
2
-1
2 --
-1 --
( c ≠ 0 ; ad – bc ≠ 0 )
y’ không xác định khi x = -1
Có tiệm cận ngang là y = - 1
Có tiệm cận đứng là x = - 1
- ∞
-1
Ví dụ 6 .
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số :
Giải .
1. Tập xác định của hàm số. x  R{-1/2}
2. Sự biến thiên
Xét chiều biến thiên của hàm số.
+ Tính đạo hàm
+ (-∞ ; -1/2) và (-1/2 ; +∞) hàm đồng biến
Cực trị .
+ hàm số không có cực trị
Tiệm cận
Bảng biến thiên .
x
- ∞
y’
y
+ ∞
+
+
-1/2
- ∞
3. Đồ thị
0
y
x
|
|
|
2
-1/2
-2 --
1/2 --
y’ không xác định khi x = -1/2
Có tiệm cận ngang là y = 1/2
Có tiệm cận đứng là x = - 1/2
+ ∞
-1/2
* Dạng của đồ thị hàm số
( c ≠ 0 ; ad – bc ≠ 0 )
D = ad - bc > 0
D = ad - bc < 0
III- SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ
Tìm tọa độ giao điểm của 2 hàm số
y = x2 + 2 x – 3 và y = - x2 – x + 2
Mở đề :
Tìm hoành độ giao điểm : x2 + 2x + 3 = - x2 – x + 2
 2 x2 + 3x + 1 = 0  x = - 1 và x = - ½
Vậy 2 hàm số này có 2 điểm chung ( - 1 ; 2) và (-1/2 ; -9/4)
Vậy có :
Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C1) và y = g(x) có đồ thị (C2)) . Để tìm
Hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) thì phải giải phương trình :
f(x) = g(x) tìm nghiệm chung . Sau thế vô tìm tung độ của chúng .
Ví dụ 7 .
Chứng minh rằng đồ thị (C ) của hàm số :
Luôn luôn cắt đường (d) : y = m – x với mọi giá trị của m .
Giải .
(C ) cắt (d) nên :
có nghiệm với mọi m
Có  = m2 + 8 > 0 với mọi m nên
x2 + (2 – m) x – m – 1 = 0 luôn có 2 nghiệm khác - 1 với mọi m
Bởi vậy (C ) luôn cắt (d) .
Ví dụ 8 .
a) Vẽ đồ thị của hàm số : y = x3 + 3x2 - 2
Sử dụng đồ thị , biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình :
x3 + 3 x2 - 2 = m
Giải .
a) Vẽ đồ thị của hàm số : y = x3 + 3x2 - 2
O
x
y
|
|
-1
-2
2 --
-2 --
y = m
m
b) Có x3 + 3 x2 - 2 = m vẽ đồ thị y = m
+ Với m > 2 :
Phương trình có 1 nghiệm
+ Với m = 2 :
Phương trình có 2 nghiệm
+ -2 < m < 2 :
Phương trình có 3 nghiệm
+ Với m = - 2 :
Phương trình có 2 nghiệm
+ Với m < - 2 :
Phương trình có 1 nghiệm
Ví dụ minh họa .
Cho hàm số :
(m là tham số)
a) Xác định m để đồ thị hàm số đi qua M(0 ; - 1)
b) Chứng minh mọi giá trị m đường thẳng y = x + 2 m luôn cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt M,N . Tìm m để MN có độ dài nhỏ nhất.
Giải :
a) Xác định m để đồ thị hàm số đi qua M(0 ; - 1)
Thõa
Vậy m = 0
b) Chứng minh :
Giải hệ :
có
Vậy hệ luôn có 2 nghiệm riêng với mọi m . Và nghiệm là :
Áp dụng M(a ; b) N(c;d) 
Nên MN nhỏ nhất khi m = 2
Bài tập về nhà :
Bài 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 trang 40 ; 41 sgk GiẢI TÍCH 12
Khi tải về vào : Silide Transition / Custom Animation / Start : on click
Để hiệu chỉnh và thay đổi theo ý thích – Chúc thành công
Để hiệu chỉnh các trang vào Slide Transtion / Chọn ở Advance slide ….