Chương I. §5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

KHẢO SÁT SỰ BiẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐA THỨC
CÁC BƯỚC KHẢO SÁT
HÀM SỐ
y= ax3+bx2+cx+d
HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG
y= ax4+bx2+c
x
y
O
Làm thế nào để có được đồ thị nhưthế này ?
?
1.Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
Tìm tập xác định .
Xét sự biến thiên của hàm số
a) Tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực ( nếu có ) của hàm số .
Tìm các đường tiệm cận của đồ thị ( nếu có )
b) Lập bảng biến thiên của hàm số , bao gồm :
Tìm đạo hàm , xét dấu đạo hàm , xét chiều biến thiên và tìm cực trị của hàm số ( nếu có ) , điền các kết quả đó vào bảng .
3. Vẽ đồ thị hàm số
Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị như giao điểm với hai trục .
Nhận xét đồ thị : chỉ ra tâm đối xứng ( nếu có , không chứng minh )
2. Hàm số y= ax3+bx2+cx+d ( a≠0)
VD1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y= x3- 3x +2
Giải
1. Tập xác định R
Tìm tập xác định .
Xét sự biến thiên của hàm số
2.Sự biến thiên của hàm số
a) Tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực ( nếu có ) của hàm số .
Tìm các đường tiệm cận của đồ thị ( nếu có )
b) Lập bảng biến thiên của hàm số , bao gồm :
Tìm đạo hàm , xét dấu đạo hàm , xét chiều biến thiên và tìm cực trị của hàm số ( nếu có ) , điền các kết quả đó vào bảng
3. Vẽ đồ thị hàm số
a) Giới hạn của hàm số tại vô cực
b) Bảng biến thiên
y/ = 3x2-3
y/= 0  3x2 -3 = 0  x =1 hoặc x =-1
x
y/
y
-∞
+∞
-1
1
0
0
+
-
+
-∞
+∞
4
0
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( -∞;-1) và (1;+∞) , nghịch biến trên khoảng ( -1 ;1)
Hàm số đạt cực đại tại điểm x =-1 , giá trị cực đại y =4 .
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x =1 , giá trị cực đại y = 0 .
3. Đồ thị
Giao điểm đồ thị vời Oy là ( 0;2)
Giao điểm đồ thị với Ox
y= 0 <=> x3-3x+2 = 0  x = 1 hoặc x =-2
Đồ thị nhận điểm U(0;2) làm điểm uốn
Điểm uốn của đồ thị hàm số

y = x3-3x +2
y/ =3x2 -3
y// =6x
y// = 0  x = 0
U(0;2)
U
Điềm U ngăn cách phần lồi và phần lõm được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số .
?
Vậy làm thế nào để tìm được điểm uốn U ?
Bảng dấu y//
x
y//
-∞
+∞
0
0
-
+
Nếu hàm số y= f(x) có đạo hàm cấp hai trên một khoảng chứa điểm x0 , f//(x0) =0 và f// đổi dấu khi x qua x0 thì U(x0;f(x0)) là một điểm uốn của đồ thị hàm số y= f(x)
Ta thấy y// đổi dấu khi x qua x= 0 nên đồ thị hàm số có điểm uốn U(0;2)
VD2.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y= -x3+ x2 +x
3.Hàm số trùng phương y= ax4+bx2+c ( a ≠ 0)
VD3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
y= x4 -2x2 -2
Giải
1/ Tập xác định R
2/ Sự biến thiên của hàm số
a) Giới hạn tại vô cực
b) Bảng biến thiên
y/= 4x3– 4x = 4x(x2 -1)
y/ = 0  4x(x2 -1) = 0
 x = 0 hoặc x = 1 hoặc x =-1
x
y
y/
0
-1
1
-
0
0
0
+
-
+
-
-2
-3
-3
+∞
+∞
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( -∞ ;-1) và (0;1) , đồng biến trên các khoảng (-1;0) và (1;+∞ )
Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0; giá trị cực đại y= -2 .Hàm số đạy cực tiểu tại điểm x = -1 hoặc x =1 , giá trị cực tiểu y =-3
3/ Đồ thị
Điểm uốn
Ta có y// = 12x2 -4
x
y//
-∞
+∞
0
0
+
-
+
Ta thấy y// đổi dấu khi x qua x = nên đồ thị hàm số có hai điểm uốn
Giao điểm của đồ thị với trục tung (0;-2)
Gía trị đặc biệt
x= -2 => y=6
x= 2=> y=6
-2
0
x
y
2
-2
6
VD 4 .Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y= -x4 +2x2 +2
2
x
y
0